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第五章 空间问题的基本理论,教学重点,1、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程; 2、空间轴对称问题的基本方程。,教学要求 1、了解空间问题的三套基本方程; 2、掌握物体内任一点的应力状态; 3、掌握轴对称问题的特点,了解轴对称问题的基本方程。,在一般空间问题中,包含15个未知函数: 6个应力分量 x,y,z,xy,yz,zx; 6个应变形变分量 x,y,z,xy,yz,zx; 3个位移分量 u,v,w。 它们都是坐标(x,y,z)的函数。 在弹性区域内部,要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件,分别建立3套基本方程:平衡微分方程,几何方程,物理方程。然后在边界条件下求解这些方程,得出应力分量、形变分量和位移分量。,空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。,球对称问题,球对称问题:如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点(过这一点的任一平面都是对称面),这时应力、位移等都对称于这一点,称为球对称问题,球对称问题的弹性体的形状只能是圆球或空心球。 在球对称问题中,应力、应变、位移等分量都只是径向坐标的函数。,轴对称问题:如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴(过该轴的任一平面都是对称面),这时应力、位移等都对称于这一轴,称为轴对称问题,轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。,轴对称问题,在外力作用下,物体整体平衡的同时,任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。,如果仅考虑单元体的平衡,可以不考虑单元体同一方向上相隔一定距离应力的微小变化,前后两面的应力可认为是大小相等、方向相反。但是,在分析整体的平衡时,应力的这个微小变化,各面的应力差就是造成物体各处应力变化的原因,必须加以考虑。,5-1 平衡微分方程,考虑图示单元体z轴方向的平衡: 在z面的负面z处,正应力记为,在x面的负面处,切应力记为 xz;,x,y,z,o,z正面z+dz处应力为,x正面x+dx处切应力为,在物体内的任一点P取一微小的正六面体,其六面垂直于坐标轴,棱长为dx,dy,dz。,5-1 平衡微分方程,在y面的负面y处,切应力记为yz,x,y,z,o,y正面y+dy处应力为,设fz 为物体z的方向的体力分量。,由,整理便得到z方向的平衡方程:,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,5-1 平衡微分方程,空间问题中的平衡微分方程:,(51),同样得到x、y方向的平衡方程。,5-1 平衡微分方程,以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程:,证明切应力互等定律,整理得:,根据小变形假定,略去微量不计,得,同样可以得出:,5-1 平衡微分方程,5-2 物体内任一点的应力状态,已知任一点P的应力分量 x、y、z、xy 、yz 、zx ,,在P点附近取一平面ABC,平行于该斜面,并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,如图所示.n为平面ABC的外法线,其方向余弦为: cos(n,x)= l, cos(n,y) = m , cos(n, z) = n,求:过该点的任 一斜面上的应力。,1、求AB面上的应力分量 px,py,pz,除以ds ,然后令dv/ds0, 得:,px= l x + m yx + n zx,由x方向的平衡得到:,pxdS - x ldS-yx mdS -zx ndS+fxdv=0,设px、py 、pz为斜面ABC的全应力p在坐标轴上的投影。斜面ABC的面积为 ds, 则三角形BPC,CPA,APB的面积分别为lds, mds, nds。PABC的体积为dv。,5-2 物体内任一点的应力状态,py= my + n zy + l xy,pz= n z + l xz +m yz,同理可得 y,z方向的平衡条件 于是得:,px= l x + m yx + n zx,(5-2),5-2 物体内任一点的应力状态,2、求ABC面上的正应力n和切应力分量n,ABC面上的正应力n:,(53),将式(52)代入得:,ABC面上的切应力 n :,可见,若已知坐标面上的6个应力分量,就可求任一斜面上的正应力和切应力。6个应力分量完全决定了一点的应力状态。,(54),5-2 物体内任一点的应力状态,(55),特殊情况下,如果ABC是物体受面力作用的边界s,则px ,py ,pz成为面力分量,上式即是空间物体的应力边界条件,表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。,由式(52)得出应力边界条件:,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy,在s上,5-2 物体内任一点的应力状态,则有:,将式(7-2)代入得:,若经过任一点P的某一面上的n 0,则 该面为P点的一个应力主面,n 即为P点的一个主应力,该斜面的法线方向即为P点的一个应力主向。,(a),5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,px= l , py= m, pz= n ,(b),利用方向余弦的关系式:,联立求解式(a),(b),能够得出 l , m , n ,一组解答,就得到 P点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。,为求解方便,将式(a)改写为:,(c),5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,(76),由于l,m,n不能全为0,故系数行列式应该等于零:,展开得:,解方程得出的3个实根1 ,2 ,3,即为P点的3个主应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,主应力的个数 设三次方程(56)至少有1个实根,因而至少存在1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为 3,并将z 轴放在这个应力主向,则有:,z 3, zx=xz=0, zy=yz=0,于是正六面体的应力如图所示,根据2-3的分析,可以断定有2个主应力1和2 ,作用在互相垂直的2个应力主面上。,说明:在受力物体内的任意一点,一定存在3个互相垂直的应力主面 以及对应的3个主应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,(d),( 1) ( 2) (3)0,(56)式可写为:,比较(56)式和(d)式中的项,得:,1 +2+ 3 =x+y+z,(5-7),可见:在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变化,是不变量,并且等于三个主应力之和。,可以证明:3个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力,最小的一个就是该点的最小正应力。,5-3 P点的主应力 、最大与最小的应力,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,(58),一、几何方程 形变分量与位移分量应满足下列6个方程,即空间物体的几何方程:,二、空间问题的物理方程,(59),物理方程描述形变分量与应力分量之间的关系,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,三、空间问题的边界条件,1、位移边界条件,在给定的约束位移边界su上,位移分量还应满足下列3个位移边界条件,即空间物体的位移边界条件:,(在su上) (510),5-4 几何方程及物理方程、边界条件,2、应力边界条件,在给定的s边界上,应力分量还应满足下列3个应力边界条件:,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy,在s上,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,四、体积应变,设微小正六面体的棱边长度: dx, dy, dz, 变形前的体积为: v = dxdydz; 变形后的体积为:v=(dx +xdx)(dy +ydy)(dz +zdz),体积应变(体应变)单位体积的改变,称为体积应变。,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,(512),则体应变为:,略去高阶微量,得:,将几何方程代入,得:,(511),5-4 几何方程及物理方程、边界条件,五、体积应力和体积模量,将物理方程中的前3项相加,得,令,其中:,称为体积应力;,则上式为:,称为体积模量。,(513),5-4 几何方程及物理方程、边界条件,六、物理方程的另外一种形式 用形变分量来表示应力分量,求解x得:,由,代入上式,得:,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,(514),于是得用形变分量来表示应力分量的物理方程:,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,总结: 在一般空间问题中,包含15个未知函数: 6个应力分量 x, y, z, xy, yz, zx; 6个应变形变分量 x, y, z, xy, yz, zx 3个位移分量 u, v, w。 它们都是坐标(x, y, z)的函数。 在弹性区域内部,这15个未知函数应当满足15个基本方程:3个平衡微分方程;6个几何方程;6个物理方程。此外,在给定约束位移的边界su上,还应当满足位移边界条件(79);在给定面力的边界s上,还应当满足应力边界条件(75)。,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,空间问题中的平衡微分方程:,空间物体的几何方程:,空间问题的物理方程,5-4 几何方程及物理方程、边界条件,(55),应力边界条件:,l x + m yx + n zx,n z + l xz +m yz,my + n zy + l xy,在s上,位移边界条件:,(在su上)(59),5-4 几何方程及物理方程、边界条件,5-5 空间轴对称问题的基本方程,轴对称问题:如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴(过该轴的任一平面都是对称面),这时应力、位移等都对称于这一轴,称为轴对称问题。 弹性体的形状:一般为是圆柱或半空间。,在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时,宜圆柱坐标,z 。,特点:若对称轴为z轴,则所有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是、z的函数,不随而变。 具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面,凡不符合对称性的物理量必然不存在,它们应当等于零。,5-5 空间轴对称问题的基本方程,基本概念 径向线应变沿方向的线应变; 环向线应变沿方向的线应变; 轴向线应变z沿z方向的线应变; z方向与 z 方向之间直角的改变; 方向与方向之间直角的改变; z z 方向与方向之间直角的改变; 径向位移分量 u沿方向的位移分量; 环向位移分量 u 沿方向的位移分量; 轴向位移分量 uz沿z方向的位移分量;,5-5 空间轴对称问题的基本方程,一、空间轴对称问题的平衡微分方程,由于对称性,在水平面内无增量,且,从轴对称物体中取出图示的单元体。,并且环向体力分量 f0,5-5 空间轴对称问题的基本方程,化简后得到,根据方向的平衡,可得,5-5 空间轴对称问题的基本方程,根据z方向的平衡,可得,化简后得到,一、空间轴对称问题的平衡微分方程,5-5 空间轴对称问题的基本方程,空间轴对称问题的平衡微分方程为,(515),5-5 空间轴对称问题的基本方程,由于对称,各点环向位移u0,由径向位移产生的应变为,由轴向位移uz产生的应变为,迭加得到几何方程,二、 空间轴对称问题的几何方程,(516),5-5 空间轴对称问题的基本方程,由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标,所以物理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得来:,三、空间轴对称问题的物理方程,(517),5-5 空间轴对称问题的基本方程,式(517)的前三项相加,得,体积应变为:,体积应力为:,5-5 空间轴对称问题的基本方程,应力分量用应变分量表示为,应力分量用位移分量表示为,空间轴对称问
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