4. 线性控制系统的根轨迹分析法,基于根轨迹法的系统性能分析,4. 1根轨迹法的基本概念,根轨迹是指开环系统某一参数从零连续变化到无穷大时，闭环系统极点在s平面上变化的轨迹。 根轨迹与系统性能之间有着密切的联系 ，通过分析系统的根轨迹图可以清楚地看出闭环极点随系统某个参数变化的关系，由此可以判断系统的稳定范围以及分析系统稳、动态性能。,4. 1根轨迹法的基本概念,负反馈系统根轨迹的根轨迹方程： 根轨迹的幅值方程： 根轨迹的相位方程：,规则1 根轨迹的分支数等于开环极点的个数。 规则2 根轨迹是连续的且关于实轴对称。 规则3 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 规则4 若系统的开环极点数大于开环零点数，根轨迹的渐近线有 （ ）条。渐近线与实轴的交点坐标为（ , ），渐近线与实轴正方向的夹角为 规则5 实轴上的根轨迹是那些在其右侧开环零、极点个数和为奇数的线段。 规则6 根轨迹与实轴交点的坐标是方程 的解。,4. 2 绘制根轨迹的基本规则,4. 2 绘制根轨迹的基本规则,规则7 若根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可通过令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部等于零求解。 规则8 起始于开环复数极点处的根轨迹的出射角可由式 计算，终止于开环复数零点的根轨迹的入射角可由式 计算。 规则9 当 时，系统 个闭环特征根之和恒等于 个开环极点之和。,利用根轨迹的系统性能分析包括： （1）根据闭环极点分布，确定系统的稳定性，分析稳态性能和动态性能（包括利用闭环主导极点概念，近似分析高阶系统性能）； （2）根据系统性能要求确定系统参数。,4. 3 基于根轨迹法的系统性能分析,参数根轨迹的绘制步骤如下： （1）根据已知条件得到系统的闭环特征方程； （2）以特征方程中不含参量的项除特征方程，得到等效的系统开环传递函数 ，式中原系统的参量 为等效系统的根轨迹增益； （3）按常规根轨迹绘制规则绘制参数根轨迹。,4. 4 广义根轨迹的绘制,4. 4 广义根轨迹的绘制,4. 5MATLAB下的线性系统根轨迹,利用Matlab绘制系统的根轨迹图十分方便。Matlab专门 提供了绘制根轨迹的函数： rlocus，pzmap 等，使根轨 迹绘制变得更加轻松自如。 p,z=pzmap(sys) %计算系统的零极点 pzmap(p,z) %绘制系统的零极点图 rlocus(sys) %绘制系统的根轨迹 r,k=rlocus(sys) %计算根轨迹增益值和闭环极点值 k,poles=rlocfind(sys) %计算鼠标拾取点处的根轨迹 增益和闭环极点 k,poles=rlocfind(sys，p) %计算最靠近给定闭环极点p 处的根轨迹增益,4. 5MATLAB下的线性系统根轨迹,例4-11 已知一单位负反馈系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的根轨迹图；在根轨迹图上任选一点，并计算该 点的增益K及其所有极点的位置。 解：输入以下命令 num=1; den=conv(1 0,conv(0.5 1,0.4 1); sys=tf(num,den); rlocus(sys) k,poles=rlocfind(sys),4. 5MATLAB下的线性系统根轨迹,例4-11 已知一单位负反馈系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的根轨迹图；在根轨迹图上任选一点，并计算该点的增益K及其 所有极点的位置。 运行结果如下： selected_point = -0.3791 + 1.4161i k = 1.6094 poles = -3.7383 -0.3808 + 1.4169i -0.3808 - 1.4169i,4. 5MATLAB下的线性系统根轨迹,谢谢,