题选,细杆单位长度的质量为 。靠在半径为R的圆环上，上端与球相切。假设所有接触点皆有足够的摩擦，以使系统保持静止，求地面与圆环之间的摩擦力。,光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。,解： 取一小段长为dl的线元， 质量dm=ldl 两端张力之差（净张力） dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy,练习： （2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为 ，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。 （3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？,例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K 引例：弹簧串联。哪个伸长更大？,n个弹簧串联，从下向上数 x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k, X=x1+x2+x3+xn=n(1+n)mg/2k M=nm X=Mg(1+n)/2k n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数) X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）,可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。,练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, K,练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k （2010 IYPT题目）,x0,T,T+dT,x0+dx0,x,x+dx,类似于简谐振动方程，解是,当切掉末端dx长度对应的dm以后，质心向前移动dx，按照杠杆原理,与端点距离始终是l,dx,mg,dm,26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。,练习:(p507,4.11),分析： M: m: 加速度： a1(+x方向） a=a1+a2,列方程： m: M:,IPhO4-1 (1970) 在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在（a）远处的柱子，(b)木板的端面上。 试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？,IPhO20-2 不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？,IPhO9-1 半径R=0.5m的空心球以角速度 绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2) (1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？ (2)求 时实现这一情况的条件。 (3)在以下两种情况下研究运动的稳定性 (i)木块位置有微小变动； (ii)球角速度有微小变动。,IPhO21-3中子星的旋转(p258) 毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。 这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。 令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp. 考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*102 s （1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。,2002决赛第五题,假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。 已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离 太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答： 1.论证银河系物质能否均匀分布 2.计算银河系中发光物质质量最多有多少 3.计算整个银河系物质质量至少有多少 4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少 上述计算结果均用太阳质量MS表示。,铅笔从斜面滚落的收尾速度. 为了简化问题，把铅笔视为一个质量集中在中轴线上的质点。铅笔的截面是六边形的，有质量不计的六根长度为r的辐条，没有边沿。斜面的倾角是a，假设铅笔和斜面之间没有滑动，当辐条的端点碰到斜面时，铅笔不向上跳起。 （1）假设在一定条件下铅笔会达到一个收尾速度，解释其原因，并求该速度。求解时可以直接假定质心速度的极大值已经达到了稳定的值。 （2）如果存在非零的收尾速度，斜面的倾角a的最小值是多少？（可以给铅笔一个初速度。） (3) 如果铅笔始终与斜面保持接触，斜面的倾角a的最大值是多少？ (4) 如果铅笔的截面是N边形的，即有N根等分的辐条，重新求解以上三问。假设N很大，可以用近似sinq=q，斜面倾角也可以设为很小。 (5) N很大时，铅笔与斜面始终保持接触的最大可能的收尾速度为多少?,Problem1.,IPhO13-2 金属丝衣架可在图示平面内做小幅振动。在位置(a)和(b)的情形，长边是水平的，另两边边长相等。所有三种情形的振动周期均相同。问质心位于何处？试求出周期。（图中除尺寸外并未给出关于质量分布的任何信息。）长边42cm,高10cm.,解: 设质心到三个悬挂点的距离为l1, l2, l3, 周期 取决于等值摆长，相同L时l有两个解，满足 因此前面l1, l2, l3,三者中有两个是相等的。由于l1l210， l321，所以l3不可能与l1,或l2相等，故l1l25cm，,IPhO15-2 在某些湖泊中能经常观察到称之为“湖震”的奇异现象。它通常发生在长且窄的浅湖中。水的整个质量就像端咖啡待客时杯中的咖啡那样运动，这不能错当成湖面所看到的正常水波。 建立湖震模型，取一个矩形容器。用L表示容器的长度，h表示水的高度。假定水面最初与水平面有一很小的夹角。水开始绕容器一半长度处的水平轴振动，而水面始终保持为平面。 试对水的运动建立一个模型，并求出振动周期T的表示式。 表中列出了两个不同长度的容器中不同水深的振动周期。用适宜的方法核查，使实验数据较好得符合你求出的公式，并发表对你所用的模型的看法。,发射卫星 质量为m的卫星环绕的地球（质量为M）作半径为R0的圆周运动，求卫星的速度u0。 在上述圆轨道的某一点Q沿切线从u0加速到u1，使之改变轨道，达到远地点P距离地心为R1的椭圆轨道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。 导出卫星远离地球引力场范围的最小速度u1，用u0表示。 接第二问，卫星达到远地点P的速度u2，用u0和R0 ，R1表示。 在远地点P再次变轨，从u2加速到u3，使之沿着半径为R1的大圆轨道运行，求加速后的速度u3，用u2 和R0 ，R1表示。,6. 如果卫星受到一个微小的扰动，偏离了原先半径为R1的圆轨道，导出卫星到地心的距离r围绕平均距离R1来回振动的周期T。 7. 描绘受到扰动的轨道以及原有圆轨道的草图。 提示：必要的话可以运用以下卫星轨道的运动方程：,秋千问题. 一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=1.072。,为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。,需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍)，需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。,滑动摩擦下的谐振子 力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。 当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicit form）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。 本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。 作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。,问题A 相图（3.0分） A1 0.5分画出自由质点相轨迹，该质点在两个互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墙壁之间运动。 A2 研究谐振子的相轨迹，也就是质量为m受胡克力（F = - k x）作用的质点的相轨迹。 0.5分写出相轨迹的方程和相应的参数 0.5分画出谐振子的相轨迹。 A3 1.5分考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角a作为描述系统的坐标。相平面是由()描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度a下该摆的相图。设K为该系统不同性质的相轨迹种类的数目，求K的值。对每种相轨迹至少画出一条典型的相轨迹。给出描述的每一种相轨迹的参数的取值范围。（不要将平衡点当作相轨迹）。忽略空气阻力。,B. 滑动摩擦下的振子(7.0分) 考虑运动的阻力，我们通常处理两种类型的摩擦力。第一类是与速度有关的摩擦力（粘滞摩擦），可用来表达，例如固体在气体或液体中的运动。第二类是跟速度无关的摩擦力，其大小可用F=mN来表达，力的方向和接触物体间的相对速度的方向相反（滑动摩擦），如一个固体在另一个固体表面的运动。 作为第二种摩擦力的一个特例，考虑水平表面上和弹簧一端相连的物体，弹簧的另一端固定。该物体的质量是m，弹簧的弹性系数是k，物体和表面之间的摩擦系数是m。假定物体沿x轴作直线运动（取x=0为弹簧未伸缩的位置）。假定动摩擦系数和静摩擦系数是相同的，初始时刻物体位于x=A0（A00）的位置，速度为零。,B1. 1.0分写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动方程。 B2. 2.0分画出这一振子的相轨迹，确定振子的平衡位置。 B3. 1.0分振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。 B4. 2.0分确定振子的x正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出x正方向第n次最大偏离量A(tn)的表达式，其中tn是第n次达到正向最大偏离处的时间。 B5. 1.0分画出坐标与