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【课标要求】 1了解数列、通项公式的概念;了解数列是自变量为正整数的一 类函数 2能根据通项公式确定数列的某一项 3能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,第1课时 数列的概念与通项公式,21 数列的概念与简单表示法,【核心扫描】 1数列通项公式的应用(重点) 2求数列的通项公式(难点),数列的概念 (1)数列:按照_排列的一列数称为数列;数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为an (2)项:数列中的_叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做_),排在第n位的数称为这个数列的_,自学导引,1,一定顺序,每一个数,首项,第n项,:数列与数集有什么不同? 提示:数列中的数是有序的,而数集中的数是无序的,数列中的数可以相同而数集中的数是互异的,数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列项数_的数列 无穷数列项数_的数列 (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列; 递减数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列; 常数列各项_的数列; 摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列,2,有限,无限,大于,小于,相等,:1,2,3,4和1,2,3,4,是相同的数列吗? 提示:不是数列1,2,3,4表示有穷数列,而1,2,3,4,表示无穷数列,数列的通项公式 如果数列an的第n项与_之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 另外,数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示,3,序号n,数列概念的理解 (1)有序性:如1,2,3与3,2,1是不同的数列 (2)可重复:如2,2,2是一个数列 (3)an与an是两个不同的概念:an表示数列a1,a2,an,而an只表示数列an的第n项 (4)数列与数集是两个不同的概念,它们主要区别在于:集合中的元素具有无序性和互异性,数列中的项是有序的且可以相同,即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,另一方面,同一个数在数列中可以重复出现,名师点睛,1,数列的通项公式 (1)如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式如的近似值,精确到1,0.1,0.01,所构成的数列1,1.4,1.41,就没有通项公式 (2)有通项公式的数列,其通项公式在形式上不一定是唯一的如数列1,1,1,1,它可以写成an(1)n,也可以写成an(1)n2等 (3)熟记一些基本数列的通项公式,如: 数列1,1,1,1,的通项公式是an(1)n; 数列1,2,3,4,的通项公式是ann; 数列1,3,5,7,的通项公式是an2n1; 数列2,4,6,8,的通项公式是an2n; 数列1,2,4,8,的通项公式是an2n1; 数列1,4,9,16,的通项公式是ann2.,2,题型一 数列的有关概念,下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由 (1)0,1,2,3,4是有穷数列; (2)所有自然数能构成数列; (3)3,1,1,x,5,7,y,11是一个项数为8的数列; (4)数列1,3,5,7,2n1,的通项公式是an2n1. 思路探索 紧扣数列的有关概念完成判断,【例1】,解 (1)错误0,1,2,3,4是集合,不是数列 (2)正确如将所有自然数按从小到大的顺序排列 (3)错误当x,y代表数时为项数为8的数列;当x,y中有一个不代表数时,便不是数列,这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成 (4)错误数列1,3,5,7,2n1,的第n项为2n1,故通项公式为an2n1.,(1)数列的项与项数 数列的项与项数是两个不同的概念,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,它是一个函数值,即f(n);而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是函数值f(n)对应的自变量的值,即n. (2)数列表示法的理解 数列an表示数列a1,a2,a3,an,不是表示一个集合,只是借用了集合的表示形式,与集合表示有本质的区别,已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012; 其中,有穷数列是_,无穷数列是_,递增数列是_,递减数列是_,摆动数列是_,周期数列是_(将合理的序号填在横线上),【变式1】,解析 (1)是有穷递增数列; (3)是无穷递减数列; (4)是摆动数列,也是无穷数列; (5)是摆动数列,是无穷数列,也是周期数列,最小正周期为4. 答案 (1) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (4)(5) (5),根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式 (1)1,7,13,19,; 思路探索 应多角度、全方位地观察,寻找各项之间以及它们与序号n之间的内在联系,题型二 根据数列的前几项写出通项公式,【例2】,解 (1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an(1)n(6n5),此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法具体方法为:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值特征;化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系,写出下列数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,; (4)9,99,999,9 999,. 解 (1)中3可看做211,5可看做221,9可看做231,17可看做241,33可看做251,.所以an2n1.,【变式2】,(4)注意到各项分别加1后,变为10,100,1 000,10 000,an10n1.,已知数列an的通项公式为an3n228n. (1)写出数列的第4项和第6项; (2)问49和68是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由 【解题流程】 规范解答 (1)根据an3n228n, a434228464, a636228660.(6分) (2)令3n228n49,即3n228n490,,题型三 数列通项公式的应用,【例3】,【题后反思】 (1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项 (2)判断某数值是否为该数列的项,先假设是数列的项,列出方程,若方程的解为正整数(项数),则是该数列的项;若方程无解或解不是正整数,则不是数列的项,【变式3】 已知数列an满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式 (1)a10,an1an(2n1); 解 (1)a10,an1an(2n1), a2a1(211)011; a3a2(221)134; a4a3(231)459; a5a4(241)9716. 故该数列的一个通项公式是an(n1)2.,已知数列an的通项公式为an2n229n3,求数列an的最大项 错解 由已知,得,误区警示 忽略数列中n的取值范围而致误,【示例】,可以将数列的通项公式看作函数,因为n为项的序号,所以定义域为正整数集,解题时往往忽略这一点,误认为定义域为R而导致出错,数列是一个特殊的函数,在用函数的有关知识求解数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1,2,n)这一约束条件,
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