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第5章 正弦稳态电路分析,2. 正弦量的相量表示,3. 电路定理的相量形式;,重点:,1. 正弦量的表示、相位差;,正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。,5.1 正弦电流和电压,5.1.1 正弦量的三要素,瞬时值表达式:,i(t)=Imcos(w t+),波形:,周期T (period)和频率f (frequency) :,频率f :每秒重复变化的次数。,周期T :重复变化一次所需的时间。,单位:Hz,赫(兹),单位:s,秒,幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im,(2) 角频率(angular frequency)w,正弦量的三要素,i,0,T,(3) 初相位(initial phase angle) ,2,t,单位: rad/s ,弧度 / 秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度, 反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点。,i(t)=Imcos(w t+),一般规定:| | 。,同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同。,例,已知正弦电流波形如图,103rad/s, (1)写出i(t)表达式; (2)求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点之后,注意:若距纵轴最近的最大值在计时零之前,则初相位为正值; 若距纵轴最近的最大值在计时零之后,则初相位为负值.,例5.1-1,已知正弦电流 i(t) 的振幅 Im=100mA, 初相角= -600, 周期 T = 2ms,试写出i(t) 的函数表达式(用cos表示),并绘出它的波形。,解,由已知条件求出正弦电流i(t)的三要素,振幅,Im=100 mA,角频率,初相位,= -600 = -/3,所以,mA,波形图如图所示:,5.1.2 相位差,设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差 :j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i,j 0, u超前i j 角,或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值);, j 0, i 超前 uj 角,或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定: | | (180)。,相位差:两个同频率正弦量的相位之差。,j 0, 同相:,j = (180o ) ,反相:,特殊相位关系:,= p/2,正交: u 领先 i p/2, 不说 u 落后 i 3p/2; i 落后 u p/2, 不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,注意: 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号,且在主值范围比较。,例,已知正弦量为:,解,其中,试比较i1与i2 , i1与u3间的相位关系。,i1超前i2,i1超前u3,5.1.3 有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变,为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值定义,有效值也称均方根值,物理意义,同样,可定义电压有效值:,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos( t+ ),同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系:,若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为Um311V;,U=380V, Um537V。,(1)工程上说的正弦电压、电流一般指有效值,如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,(2)测量中,电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,(3)区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,复数A的表示形式,A=a+jb,5.2 正弦量的相量表示,1. 复数及运算,两种表示法的关系:,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1, A2=a2+jb2,图解法,(2) 乘除运算采用极坐标形式,除法:模相除,角相减。,例1.,乘法:模相乘,角相加。,则:,解,例2.,(3) 旋转因子:,复数 ejq =cosq +jsinq =1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q ,而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解,故 +j, j, -1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子,i1,i1+i2 i3,i2,角频率: 有效值: 初相位:,两个正弦量的相加,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量,所以,只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此,,2. 正弦量的相量表示,i3,实际是变换的思想,正弦量的相量表示,造一个复函数,对A(t)取实部:,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素:I、 、w ,复常数包含了I , 。,A(t)还可以写成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,称 为正弦量 i(t) 对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系:,已知,例1,试用相量表示i, u .,解,在复平面上用向量表示相量的图,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,【例5.2-1】 试写出下列各电压的相量 , 并画出相量图。,【解】,(2) 由于本书用相量表示cos函数, 所以应先把表达式中的 sin 函数化为cos 函数, 将它改写为,画出相量图:,【解】,【例5.2-2】 写出正弦量 的时域形式,所以时域可写为:,【解】,【例5.2-4】已知正弦电流 , ; 写出这两个正弦电流的电流相量,画出相量图, 并求出 。,正弦电流 的相量为,正弦电流 的相量为,画出相量图:,所以有,3. 相量法的应用,(1) 同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为:,例,也可借助相量图计算,首尾相接,2 . 正弦量的微分,积分运算,微分运算:,积分运算:,例,用相量运算:,相量法的优点:,(1)把时域问题变为复数问题;,(2)把微积分方程的运算变为复数方程运算;,(3)可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路;,5.3 电路定律的相量形式,1. 电阻元件VCR的相量形式,时域形式:,相量形式:,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系:,5.3.1 电路中基本元件的相量形式,瞬时功率:,波形图及相量图:,瞬时功率以2交变。始终大于零,表明电阻始终吸收功率,同相位,时域形式:,相量形式:,相量模型,相量关系:,2. 电感元件VCR的相量形式,相量图:,电压超前电流900,感抗的物理意义:,(1) 表示限制电流的能力;,(2) 感抗和频率成正比;,相量表达式:,XL= L=2fL,称为感抗,单位为 (欧姆) BL=1/ L =1/2fL, 感纳,单位为 S,感抗和感纳:,时域形式:,相量形式:,相量模型,相量关系:,3. 电容元件VCR的相量形式,相量图:,电流超前电压900,XC=1/w C, 称为容抗,单位为 (欧姆) B C = w C, 称为容纳,单位为 S,频率和容抗成反比, 0, |XC| 直流开路(隔直) w ,|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳:,相量表达式:,【解】,电压振幅相量,【例5.3-1】 将正弦电压 加到C=1000uF的电容上,求流过该电容的正弦稳态电流。,由电容元件VCR有,对应的正弦稳态电流为,5.3.2 基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此,在正弦电流电路中,KCL和KVL可用相应的相量形式表示:,上式表明:流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL;而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,例1,试判断下列表达式的正、误:,L,例2,已知电流表读数:,解,例3,解,例4,解,例5,解,例6,图示电路I1=I2=5A,U50V,总电压与总电流同相位,求I、R、XC、XL。,解,也可以画相量图计算,令等式两边实部等于实部,虚部等于虚部,
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