决胜2011年中考 探索性数学问题,赣州市教科所教研室 林望春 linwangchun163.com,习惯上，我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类：一类是已知和结论都有确定要求的题型，简称封闭性问题；另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型，我们把这类问题称为开放探索性问题 因此，初中数学中的“探索性”问题的特征是：命题中缺少一定的题设或没有给出明确的结论，或解题思路及过程没有确定的形式和方向；解题时需要经过大胆地猜想、推断、补充与归纳，并加以计算或证明,探索性数学问题,探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍,探索性数学问题在近几年的中考中频频出现；常出现的有四大类型：规律探索型、条件探索型、结论探索型、存在探索型等；江西中考试卷中多以一至两个填空、选择题和一个中等以上的解答题出现，分值约有614分；要求考生对问题进行观察、分析、比较、概括，达到发现规律，或得出结论，或寻求使结论成立的条件，或探索数学对象存在可能性与结果的目的,命 题 趋 势,探索性问题的解答必须利用题设进行分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索出不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律,解题策略,以下课案就近几年的中考试题，列举几例加以说明：目的是对各种探索性的问题进行归纳、整合，帮助老师和同学们提高对探索性数学问题的分析、思考及解答能力,【题组讲解】 一、基础练习 【实现目标】 认识各类探索型试题的基本特征与形式，初步掌握解决各类不同目标的探索性问题的方法,1、规律探索型 规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目所蕴含的数学本质、规律与特征的一类探索性问题 解题策略是：常常利用特殊值（包含特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律,简析：观察预判每一个点 的坐标为: 可以递推得点 的坐标 ； 因而点P2010的坐标是 ,变式：题2（2010广东肇庆）、观察下列单项式： a，2a2，4a3，8a4，16a5，按照此规律，第n个单项式是 (n是正整数) ,简析：这一列单项式，观察每一序列号下单项式的符号、系数、字母的次数；符号满足奇数序号项为正、偶数序号项为负；系数的绝对值成2的自然数幂；字母a的次数成正整数幂递增；因而设定n为正整数，则答案为: ,简析：图1的三角数，从第二个开始，有这样的规律： 1=1，3=1+2, 6=1+2+3， ，第n个三角数是: ；图2 中的正方形数从第二个开始，有这样的规律： 第m个正方形数时， ；比较A、B、C、D四个数，仅有25、1225是正方形数（m分别等于5、35），检验25不是三角形数（n无整数解），而1225又是三角形数（此时n=35）；故1225既是正方形数、又是三角形数；选择D,【变式意图】 变式试题T2 、T3与T4不仅要考虑数与字母的变化特征，而且还要观察数的排列规律，同时又要考虑图形的特征表象；需要从纵横两个方面、数形结合相互关联地比较、观察、猜想、推理，获取与形成对每一个问题自身的数学本质与规律的认识，再进行严格地推理、验证,【方法提炼】 在解决这类一般性规律的探索问题时，特别注意：（1）通常写成竖式或单列形式进行对比、分析；（2）注重纵横联系与数形结合；（3）关注序列号与数据之间的联系,2、条件探索型 条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的条件，需要采取证明、推断去探索发现，并补充与完善使结论成立的一个或一些条件 解题策略是：从所给出的结论出发，采用逆推的办法，猜想出合乎结论要求的一些条件，并进行逻辑推理证明，从而寻找出满足结论的条件,简析：因为CFBE，所以 FCDEBD又因为FDC =EDB，要证明BDECDF， 只需要添加一组对应边相等即可,答案：（1） 从BDCD(或点D是线段BC的中点)，BECF，EF；三者中任选一个即可 （2）以添加EF 为例，进行证明： CFBE, FCDEBD又 FDCEDB， 且添加EF； BDECDF,简析：命题的结论很明显： 四边形ABCD欲成为等腰梯形； 现需探索补充使它成立的一个 条件（有可能不唯一）；可以 先观察与已知条件ABDACD相关联的、一对可能 全等的三角形ABD与ACD，满足这种可能的添加条件有若干条；也可以从其他方面入手；可供添加的条件可以是以下的任选其一：,解答：DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD,3、结论探索型 结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题；这类探索问题的设问，常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“有何结论”等它与传统题的区别在于：探索问题的结论的过程往往也是解题过程 解题策略：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，执因索果，顺向推理或联想类比、猜测等，获得所求结论（特别注意：解答的多样性和反思与证明）,4、存在探索型 探索存在型问题：是指在一定的前提条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的一类问题；它往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现，以示结论成立与否有待判断 解题策略是：通常对结论作出肯定存在的假设，再按题设条件进行推理、计算，若导出矛盾，则否定先前的假设；若推出合理的结论，则说明先前的假设成立,解答：(1) 过点B作 ，垂足为D， 又 ， = =1， = =2；点B的坐标为（-3，1）；,（2）代入点B的坐标，抛物线的解析式还是可以求得的；,（2）抛物线 经过点B(-3,1) ， 则得到 ，解得: ， 所以抛物线解析式为 ；,（3）假设存在P1、P2两点， 使得ACP是直角三角形： 若以AC为直角边，点C为直角 顶点；则延长BC 至P1点，使得 P1 C=BC，得到等腰直角三角形 AC P1 ，利用MP1 C DBC 可求得点P1（1，-1）；经检验： 点P1（1，-1）在抛物线上，使 等腰直角三角形； 若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作 ,且使得 ,得到等腰直角三角形ACP2 ,利用AP2N CAO；可求得点P2（2，1）；经检验：点P2 （2，1）也在抛物线上，使得ACP2也是等腰直角三角形,第(3)是存在性探索问题: 假设这样的点 P 存在，思考过程中，考虑点P是否点B 关于直线AC 的轴对称点？考虑点P 是否是关于线段AC 中点的中心对称点？（或者将等腰直角三角板ABC物化， 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转180）如此寻求到：求点P 的方法与思路,二、能力提高 【实现目标】 掌握各类探索性问题入手解答的基本套路，能将较为复杂的问题各个击破，类比转化为较为熟悉或简单的问题；在解题的过程中注重数学思想方法的运用：如，、研究几何的运动变化情境时， 常常借助代数变量的思想来表达变化中的几何量； 、经常利用数形结合观点、方程函数辩证统一的思想构通代数与几何两大板块，最终达到数学本质意义的化归与统一； 、用分类讨论的数学思想考虑问题的多变性与复杂性，减少失误； 、通过善于观察数学对象的独立性、特殊性，猜想、归纳、抽象、概括出具有更加一般性的数学规律，并注意条件的不同带来的数学变化和转化 经过这一阶段的学习、演练之后，学生思路可以更为灵活与开阔，解题也会变得更加深刻与严密，数学思维与能力将获得有效的提升,提供解法二：第问：以斜边AB上的中线CM（设点M是斜边AB的中点）为辅助线；同理第问：以斜边AB上的高线CH（设点H是垂足）为辅助线,（点评：本题的第2问又是结论探索型问题，顺应条件的变化与不同，做出正确的解答即可）,简析：本题是一道探索 结论的典型试题，并且符合 条件的点P有多种可能，需要 确定它的个数；为了探索本题 的方便，不妨设正六边形ABCDEF的边长为a，则依据三角函数知识可知对角线BD= ，对角线BE=2a ； 因而在点P沿直线AB从右向左移动过程中， 当 时，此时的点 与正六边形ABCDEF 六个顶点中的点 、 构造成等腰 、 ；,【引入几何画板动画演示，验证结论！】,【方法提炼】 1、注意分类讨论时的不重不漏；2、利用了对称性的数学思想方法，使求解更简便;思考的过程中还可以通过平移方法来检验3、将原试题进行了改编，适当增加了它的思考性与难度！,三、挑战中考 【实现目标】 接触到中考型探索性数学问题，要做到认真审题、分类思考，具体问题具体分析，针对不同的题型：或特殊探路，或逆推分析，或用数学思想方法研究、分析、转化同学们掌握了这些规律并在练习中不断领悟，提高综合解决问题的能力，形成自己的数学思维和能力 同时培养并掌握一定的应试技巧与心理素质，相信同学们一定能在中考中取得优良的数学成绩.,题11（2010四川乐山）、在ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O.过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3. （1）如图（11.1），当直线lAD时（此时点G与点O重合）.求证：h2+h3= 2h1； （2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直. 如图（11.2），当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立？请你说明理由； 如图（11.3），当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系.（只需写出关系，不要求说明理由）,简析：（1）当直线 lAD时，本图满足直角梯形的中位线性质，易得结论 ；（2）将直线 l 绕点O旋转，使得l与AD不垂直. 此时的图形（11.2）依然通过辅助线、转化至（11.1），继续运用直角梯形的中位线性质，容易得结论： ；（3）抓住中点O不放，继续过点D作DHl，垂足为H，依然有DH=AG= h1；又知点D是线段BC的中点，将直线 l 向上平移h3个单位，构建三角形中位线图形，可得： ，即得 ,解答：（1）证明：BEl，CFl， 四边形BCFE是梯形. 又GDl，D是BC的中点， DG是梯形的中位线， BE+CF=2DG. 又O为AD的中点，AG=DG，BE+CF=2AG. 即 . （2）成立；证明如下： 过点D作DHl，垂足为H， AGO=DHO=Rt， AOG=DOH，OA=OD， AGODHO，DH=AG. 又 BD=CD，由梯形的中位线性质， 得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF， 成立. （3）猜想h1、h2、h3满足h1、h2、h3 满足关系： .,【引入几何画板动画演示，验证结论！】