二项式定理,对于（a+b）n = 的展开式有哪些项？,个,(a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+ an-rbr+ bn,二项式定理,右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式,它一共有 n+1 项.,其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, , n)叫做二项式系数,式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项,记作 Tr+1,即 Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n),称为二项展开式的通项公式,(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n,(2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系.,试一试：写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。,总结,1.二项式系数规律：,2.指数规律：,（1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n.,3.项数规律：,两项和的n次幂的展开式共有n+1个项,定理特征,二项式定理：,4.通项公式：,Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n),右边的多项式叫做的 展开式,解:,第三项的二项式系数为,，第三项的系数为240.,项的系数：该项所有常数因子的积.,二项式系数：,例： 的展开式常数项,解:,通项公式：,Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n),练习：,1、求 的展开式的中间两项,解:,展开式共有10项,中间两项是第5、6项。,的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数之比是：，求展开式中的第项,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数,取得最大值；,当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,（2）增减性与最大值,二项式系数前半部分是逐渐增大的，,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（3）各二项式系数的和,且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1,例：已知（x)n展开式中x2 的系数等于 x的系数的倍，求二项式系数最大的项,解:,例2：已知（x)n展开式中二项式系数和 及所有项的系数之和,变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6， 求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 （2）a0+a1+a2+a3a4+a5a6的值 （3）a1+a2+a3a4+a5a6,因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数,取得最大值；,当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,（2）增减性与最大值,二项式系数前半部分是逐渐增大的，,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（3）各二项式系数的和,且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1,特值思想,二项式定理对任意的数a、b都成 立，当然对特殊的a、b也成立！,考察在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= .,a+b,a2+2ab+b2,a3+3a2b+3ab2+b3,我国古代优秀成果介绍：,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,列出上述各展开式的系数：,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,规律: (1)表中每行两端都是1,(2)其它各数都是它肩上两数的和.,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1,杨辉三角形,试一试：你能根据杨辉三角形写出(a+b)5的展开式吗？,a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5,(a+b) 5=,