第七章 数值积分与微分,7-1,第七章,数值积分 与微 分（上）,第七章 数值积分与微分,7-2,第七章目录,1 数值积分的基本概念 1.1构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度 1.3插值型求积公式 2 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价N-C求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性 3 复化求积公式 3.1复化梯形公式 3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式,第七章 数值积分与微分,7-3,第七章目录,4 变步长方法（逐次分半算法） 4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法 5 龙贝格（Romberg）求积公式 5.1外推法 5.2 Romberg求积公式 6 高斯（Gauss）型求积公式 7 数值微分,第七章 数值积分与微分,7-4,序(1),计算定积分 的值是经常遇到的一个问题， 由微积分理论知道：只要求出f (x)的一个原函数F(x)， 就可以利用牛顿莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式 出定积分值：,但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法 时，往往会遇到下面情况：,1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或 图形。,第七章 数值积分与微分,7-5,序(2),3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。,2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：,由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算 方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。,同样，对函数f (x)求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。,第七章 数值积分与微分,7-6,1 数值积分的基本概念,1.1 构造数值求积公式的基本思想,定积分I=ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所 围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于 这个曲边梯形中有一条边y=f (x)是曲边，而不是规则图形。 由积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间a, b 内至少 存在一点，使：,也就是说，曲边梯形的面积I 恰好 等于底为（b-a），高为f ()的规则图 形矩形的面积（图7-1），f ()为曲 边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的， 因此难以准确地求出f ()的值。但是，由此可以得到这样 的启发，只要能对平均高度f ()提供一种近似算法，便可 以相应地得到一种数值求积公式。,第七章 数值积分与微分,7-7,构造数值求积公式的基本思想（续）,如，用两端点的函数值f (a)与f (b)取算术平均值作为平均 高度f ()的近似值，这样可导出求积公式：,更一般地，可以在区间a, b 上适当选取某些点xk (k=0,1, ,n)，然后用f (xk) 的加权平均值近似地表示 f ()，这样得到一般的求积公式：,其中，点xk 称为求积节点，系数Ak 称为求积系数，Ak 仅 仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数f (x)的具体形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。,第七章 数值积分与微分,7-8,构造数值求积公式的基本思想（续1）,回顾定积分的定义，积 分值I 是和式的极限：,其中xk是a, b 的每 一个分割小区间的长度，它与f (x)无关，去掉极限，由此 得到近似计算公式：,因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。 求积公式（7-1）的截断误差为：,Rn也称为积分余项。,第七章 数值积分与微分,7-9,1.2 代数精度,数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多 的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。 为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。,定义1,如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都 精确成立，而至少对一个m +1次多项式不精确成 ，则称该公式具有m次代数精度。,一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应 用，由定义1容易得到下面定理。,定理1,一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件 是该求积公式对 1,x,x2,xm 精确成立，而对xm+1 不精确成立。,第七章 数值积分与微分,7-10,代数精度(续1）,试验证梯形公式具有一次代数精度。,例1,同理可证明矩形公式的 代数精度也是一次的,第七章 数值积分与微分,7-11,代数精度（续2）,上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公 式。 例如，对于求积公式（7-1），若事先选定一组求积 节点xk (k=0,1,n,)， xk可以选为等距点，也可以选为非 等距点，则可令公式对f(x)=1,x,xn 精确成立，即得：,这是关于A0、A1、An的线性方程组，系数行列式 为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一 组解。求解该方程组即可确定求积系数Ak，所得到的求积 公式（7-1）至少具有n次代数精度。,第七章 数值积分与微分,7-12,代数精度举例,例2,确定求 积公式,使其具有尽可能高的代数精度。,解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（7-3）的代数精度为m =2， 则当f (x)=1，x，x2 时，式（7-3）应 准确成立，即有：,代回去可得：,第七章 数值积分与微分,7-13,公式（7-4）不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f (x) = 1,x,x2, x3准确成立，而且对任意次数不高于3次的多项式， a0+a1x+a2x2 + a2x3 （f (x)=1,x,x2, x3的线性组合）也准确成立，事实上，令R( f )表式（7-4）的截断误差：,检查（7-4）对 m = 3 是否成立，为此，令 f(x)=x3 代入（7-4），此时左边 。,再检查（7-4）对m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此时:,因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.,代数精度举例（续1）,第七章 数值积分与微分,7-14,由于对任意的常数, 和函数f (x)，g (x) 成立:,这表明，误差对f (x)=1, x, x2, x3准确成立，则对它们的任意线性组合a0 + a1x + a2x2+ a3x3也准确成立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数精度，只需检查对f(x)=1,x,xm 是否准确成立即可。,上述方法称为待定系数法！,代数精度举例（续2）,第七章 数值积分与微分,7-15,待定系数法注释,注1：由待定系数法确定的求积公式没有确 切的误差估计式，只能从其所具有的代数精 度去判定求积公式的准确程度。,注2：因此，希望由待定系数法确定的求积 公式的代数精度越高越好，通常的方法是要 确定n +1个待定系数。可设求积公式具有n次 代数精度，去建立n +1个方程求解，否则的 话，只设其具有0次代数精度，建立1个方程 也可以求出n +1个待定参数.,上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的 代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。,第七章 数值积分与微分,7-16,1.3 插值型求积公式,设给定一组节点a x0 x1 xn-1xn b，且已知f (x) 在这些节点上的函数值，则可求 得f (x)的拉格朗日插值多项式：,其中lk(x) 为插值基函数。取f (x) Ln(x)，则有：,记：,则有：,第七章 数值积分与微分,7-17,插值型求积公式（续）,这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为 插值型求积公式。,根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：,其中a,b 且与x有关。在插值中，因f (x) 不知道，所以无法估计插值误差。而在这里，f (x)作为被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的误差。,第七章 数值积分与微分,7-18,插值型求积公式代数精度定理,关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。,具有n +1个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积 公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。,定理2,证：(充分性) 设求积公式（7-1）至少具有n次代数精度， 那么，由于插值基函数 li(x) (i=0,1,n)均是次数为n的 多项式，故式（7-1）对li(x)精确成立，即:,第七章 数值积分与微分,7-19,定理2（续）,(必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）,定理2说明，当求积公式（7-1）选定求积节点xk 后，确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解 线性方程 组（7-2）或者计算积分（7-5）。由此得 到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于 n次。,第七章 数值积分与微分,7-20,插值型求积公式举例,例3,考察求积公式：,具有几次代数精度。,此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度， 其原因是此求积公式不是插值型的。,第七章 数值积分与微分,7-21,2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式,本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式， 即牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式,设将积分区间a, b 划分为n等分，步长h=(b-a)/n，求积 节点取为xk = a+kh(k=0,1,n)，由此构造插值型求积公式， 则其求积系数为:,第七章 数值积分与微分,7-22,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）,称之为n阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式简记为 N-C公式， 称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被 积函数f (x) 和积分区间a, b 无关，且为多项式积分，其值 可以事先求出备用。表7-1中给了了部分柯特斯系数。,记：,第七章 数值积分与微分,7-23,柯特斯系数,表7-1,第七章 数值积分与微分,7-24,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1）,经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式。,当n =1时，按公式（7-7）有：,得求积公式：,即为 梯形公式,相应的求积公式：,称为辛卜生 （Simpson） 公式。,第七章 数值积分与微分,7-25,牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续2）,所以柯特斯公式是：,当n=4时，所得的公式称作柯特斯公式，它有五个节点 ，其系数：,第七章 数值积分与微分,7-26,柯特斯系数的性质,1、与积分区间无关：当n确定后，其系数和 都等于1，即：,2、对称性：,此特性由表7-1很容易看出，现就一般情况证明之。,第七章 数值积分与微分,7-27,3、柯特斯系数并不永远都是正的。 从表7-1可以看出当n = 8时，出现了负系数，在实际 计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿 一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计 算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。,柯特斯系数的性质（续）,2n阶Newton-Cotes公式至少具有 2n+1次代数精度。,一般地，由n次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公 式至少具有n次代数精度，更进一步有以下结论：,定理3,（证明见下屏）,第七章 数值积分与微分,7-28,N为偶时的牛柯公式的代数精度证明,上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称， 故积分值为0，即：,所以2n阶N-C公式至少具有2n+1次代数精度。,第七章 数值积分与微分,7-29,N-C公式应用举例,例4,验证辛卜生 （Simpson）公式:,具有三次代数精度。,解：由定理2,辛卜生公