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2 矩阵在初等变换下的标准形矩阵也可以有初等变换定义 3 下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换:(1) 矩阵的两行(列)互换位置;(2) 矩阵的某一行(列)乘以非零的常数 ;c(3) 矩阵有某一行(列)加另一行(列)的 倍, 是一个多项式.)()(和数字矩阵的初等变换一样,可以引进初等矩阵.例如,将单位矩阵的第行的 倍加到第 行上得j)(i 行行列列 jijiPji1)(1)(. 仍用 表示由单位矩阵经过第 行第 行互换位置所得的初等矩阵,用),(jiPij表示用非零常数 乘单位矩阵第 行所得的初等矩阵.同样地,对一个cc的 矩阵 作一次初等变换就相当于在 的左边乘上相应 的初ns)(A)(As等矩阵;对 作一次初等列变换就相当于 在的右边乘上相应的 的n初等矩阵.初等矩阵都是可逆的,并且有.)(,)(,)()(,(),( 1111 jiPjiciPijiPji由此得出初等变换具有可逆性:设 矩阵 用初等变换变成 ,这AB相当于对 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 就)(A )(变回 ,而这逆矩阵仍是初等矩阵,因而由 可用初等变换变回 .)(BA定义 4 矩阵 称为与 等价,如果可以经过一系列初等变换将)()(化为 .)(A)(B等价是 矩阵之间的一种关系,这个关系显然具有下列三个性质:(!) 反身性:每一个 矩阵与它自身等价.(2) 对称性:若 与 等价,则 与 等价.)(AB)(A(3) 传递性:若 与 等价, 与 等价,则 与 等)(C)(C价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得,矩阵 与 等价的充要条件为有)(AB一系列初等矩阵 ,使tlQP,2121. (2)tlBA 21)()(这一节主要是证明任意一个 矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理 设 矩阵 的左上角元素 ,并且 中至少有一个元)( 0)(1a)(A素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与 等价的矩阵 ,它的左上B角元素也不为零,但是次数比 的次数低.)(1定理 2 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于下列形式的矩阵ns)(A,0)()(21 rdd其中 是首项系数为 1 的多项式,且),21)(,ridri.),2,(|(1ridii 这个矩阵称为 的标准形.)A例 用初等变换化 矩阵232211)( A为标准形.
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