1华东理工大学 网 络 教 育 学 院本科离散数学第二阶段练习一、判断题（对的在括弧中打个“” ，错的在括弧中打个“ ”）1、 （ ）)()()()( xBAxBxA2、 （ ）yy3、集合 上的恒等关系 。 （ ）,qpZ,pIZ 4、 ，则关系 是自反的。 （ ）cbaX,baR5、集合 上存在一种二元关系，它既不自反，又不反自反。 （ A）6、若 、 均为集合 上的自反关系，则 不再是 上的自反关系。 （ ）RSSA7、集合 上存在一种二元关系，它既对称，又反对称。 （ ）8、若 、 均为集合 上的对称关系，则 不再是 上的对称关系。 （ ）AR9、若 、 均为集合 上的反对称关系，则 也是 上的反对称关系。 （ ）10、设 是集合 的一个划分， 是一个非空集合，且 ，,21mS BBSi，则集合 是 的划分。 （ ）)(i ,21Sm二、填空题1、集合 ，那么 的幂集 。A)(AP,2、 。4,3,24F甲 ， 43,13、 。bzyxcbazxca4、四个元素的集合拥有的不同等价关系的个数是 。155、函数 ，与3,2,1, df的复合函数32,bqpg fg。,cba6、集合 ， ，则,1AaB,aBA2。3,2,1,三、计算题1、某班级共有学生 60 人，其中有 38 人学习 Delphi 语言，16 人学习 VC+语言，21 人学习 VB 语言。有 3 人这三门语言都学，2 人这三门语言都不学。问：仅学两门语言的学生有几人？解：设 分别表示学习 Delphi 语言的人、学习 VC+语言的人、学习 VB 语CBA、言的人，依题意，有， ， ， ， ，38|16|2|3|CBA2| CBA，|)(|60 由包含排斥原理，有 | CBA 20)6(32138由于所求为仅学两门语言的认输，故 （ 人 ）90|20BA才是题目所求。2、某学院乒乓球队有球衣 38 件，网球队有球衣 15 件，羽毛球队有球衣 20 件，三队队员的总人数为 58，且其中只有 3 人同时参加了这三支球队。试问：同时参加两支球队（注意没有“仅”字）的队员有几人？解：设 分别表示参加乒乓球队的人、参加网球队的人、参加羽毛球队的人，CBA、依题意，有， ， ， ，38|15|20|3|CBA58|CBA由包含排斥原理，有 |BA 185320138由于本题所求包含同时参加三支队伍的人，所以 （ 人 ）9|21CBA才为所求。四、证明：1、 ；)()()()( xxxBAx证明： )()(xBAxBA3)()()()( xBxAxBAx 2、 。)()()( yQPyQxPy证明： )()(32xE31 y3、 ；)()()(CABCA证明：右式= )()(CAB )()()()( CBAB左 式4、 ；)()()(CABCA证明：取 （全集） ，则显然左式 ，而右式 ，即命题不成立。EE5、若 ，则 ；证明：先证 。 ，CBx若 ，则 ，进而有 （否则将推出 ，矛盾） ；AxACxCAx若 ，则 ，进而有 （否则将推出 ，矛盾） ；即无论如何，均有 ，亦即 成立。x同理， ，进而 。BCC6、 。A)()(证明：左式= BCABAB)(右 式C)(7、若 、 均为集合 上的反对称关系，则 不一定是 上的反对称关系（举两个RSASR反例即可。 ） ；证明：第一例：取 ， ，2,12,1,4，则 ，且 、2,1,S 2,1,SR R、 均为反对称的；R第二例：取 ， ，,cbaA,abc，则,aS，虽有 、 反对称，但 却不再反,R RSSR对称。8、若 、 均为集合 上的传递关系，则 不一定是 上的传递关系。SASA证明：第一例：取 ， ， ，则2,12,1R2,1,，且 、 、 均为传递的；,1,R 第二例：取 ， ，cbaA,caba，则 ，虽有 、,cbS ,abSR R传递，但 却不再是传递的。 。SR五、已知集合 ， ， ， 到 的关系 的关系,531X,dcbaY,qpZXY矩阵 ， 到 的关系 的关系矩阵 ，试求出复合关系RM10ZSSM10的关系矩阵 。SSR解：根据复合关系矩阵与参与复合运算的两个关系矩阵的运算规律，有 SRSM 1010六、已知集合 上的关系 ，5,31X 5,3,3,1、试求自反闭包 ；)(Rr解：由公式 ，即得自反闭包xI5,3,13,1,)( r52、试求对称闭包 ；)(Rr解：由公式 ，即得自反闭包cs 3,51,5,3,13,1,)(