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65第三篇 对称性与不变性对称性的重要意义:伽利略变换下的不变性牛顿力学的基石之一。洛仑兹变换下的不变性相对论的基石之一。对称性守恒律(量)21 世纪的重大问题之一:理论越来越对称,实验越来越多地发现不对称 “矛盾”?!(参见李政道物理学的挑战)本篇主要内容:1、转动对称性问题自旋与角动量;2、粒子交换对称性问题全同粒子问题;3、时空交换对称性问题对称性与守恒律问题。第八章 自旋与角动量8.1 电子自旋1925 年实验提出1928 年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。自旋 描述微观粒子特征的基本物理量。一、 关于自旋的实验事实(原子物理已讨论) 纳黄线的精细结构;复杂(反常)塞曼效应;斯特恩-盖拉赫实验。为了解释实验现象,引入新的自由度(在内禀空间中)。二、乌伦贝克-哥德斯密特假设1、 每个电子具有自旋角动量 ,它在空间任何方向上(取作 z 轴)的投影只S能取两个值 。2zS2、 每个电子的自旋磁矩 与自旋角动量 的关系为SMS。BzzSS Mee2, 自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率: 朗德因子。,2SSzSge66与轨道角动量的回转比率比较: 朗德因子,知 。1,2LLzLgeMLSg2注意:轨道角动量有经典对应 ,自旋角动量没有经典对prr应。如果设想为经典自转违背相对论。自旋是内禀自由度(对经典讲,是全新的概念)8.2 自旋算符与自旋波函数问题:自旋算符如何定义?自旋如何描述?基本思路 由对易关系定义算符。(无经典对应)已知“轨道”: 。yxzxzyzyx JiJiJiJi ,一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值定义:yxzxzyzyx SiSiSiSi ,0222 z实验表明: 。43, 222 SSSS zyxzyx类比: 角量子数。jjjJ,.210,)(22有 自旋量子数。/,43122ssS二、泡利算符的对易关系及泡利算符的本征值令 泡利算符2yxzxzyzyx iiii 2,2, 11,1zyzx。Izyx22反对易关系: 。FGFG,易知 0,00xzzyyx67三、自旋算符在 表象的矩阵表示,2zS表象中 。zzS 10102zzS现在求 : 令 yx, dcbax : x。 dbacbdadcbab x* , :0,xz dadbazxz 20110*。0, *dax : ,Ix2 iebbb 2*010取最简形式 ,有 。1x 。0)(21iizxzy这样自旋算符的矩阵表示就全部求出: 102,2,10zyx SiSS相应的泡利矩阵为:,0,0zyxi四、电子自旋波函数取 -表象:zS baSbazz 2121,68有 即21212121,zzSS,0,0beabai。i,1取 有 ,0 1,010,0 212121221 构成正交归一完备集。任一自旋波函数可以展开成。baaSz2121)(其中, 电子自旋向上的几率; 电子自旋向下的几率。归一化要求有2a。12a引导学生自学教材 P290-293 的例题 1-3。例:教材 P294 例 4。(只讲思路,不讲计算细节)求 的本征函数和本征值。求该本征态中 的可能值、相应几率和nS zS平均值。解:。coscso2iiSn本征值方程为 。ban,由久期方程 。210cossco nSii将 代入方程求 a,得 1 bi1s由归一化条件 ,得 。于是有12cosb。1cscsi69同理得。1cos2cos1i将 用 展开21,, 10102cos0cos1cs BAi的几率; 的几率。于是有2cos2zSA in2zSB。cssi)(2z同理讨论 的相关问题。作业:习题 8.2、2,3,4,6。8.3 泡利方程 磁共振(重点讲清思路,不推导细节)一、考虑自旋后的电子波函数将 用 展开,系数为 的函数:21),(tr。)()()2121221 rSrSzz 二、考虑自旋后的力学量算符一般形式: 。21F三、泡利方程将有电磁场的 S-方程推广到包含自旋的情况。自旋磁矩 BMHSeMSS rUApHB )(22 泡利方程。Eti,四、用分离变量法求解泡利方程令 ),(,),(,0 tStrtSrzzS70。),(),(),(),(0 tSHtSitrHtri zz设 定态。 baEtbatitbaSS,)()(:)((关于 ,前面已经讨论,本章注意力在自旋问题),r五、顺磁共振和核磁共振1、自由电子在均匀恒定磁场 中的运动:zeB0102010MEBHBzS 守恒,电子的自旋状态要发生变化(高能态 低能态 ),zSz E,必然要与外界交换能量。2、再加上正弦场 :01B。 01100111 )sincos( BeMBttMH titiBzyxBS 令 ,由,0100 )()(0110tbaBetbadi titiB可得 tita221)sinco()。20210)(,1 tietb3、电子自旋共振:若 t=0 时,电子处于自旋向下态,即 titiz eittbatSba 112021 )sin2(cos),(1,0, 。当外场 (称为拉莫频率)时,有0012BM71。tBMiBtiz etitS010)cos(n),(1此式表明,当 时,电子自旋向上的几率为 1,,.2,)2(1nMtB自旋向下的几率为 0。比较: t )1(tB z 轴反转,能级跃迁。100 EE可见,在半周期 ,与外界交换能量 。 BMt:21 02BME这种在静磁场作用下,电子的磁能级分裂,并在弱交变磁场的作用下所引起的共振吸收和共振发射的现象,称为电子自旋共振。可用类似的方法讨论核磁共振(自学教材或参考有关文献)。8.4 角动量算符的基本性质(一般性讨论 代数法的实例)一、角动量算符的定义式: 。22, zyxJJiJ二、角动量算符的本征值谱设 ?,22 mmmJz 1、引入新算符 )(21),(21, JiJJi yxyx 一系列对易关系 见教材 P307 (9)(10)( 11)。由此可得zzJJ222、 的本征值为zJm 设 m 的上限为 j,则 。jj 相邻的 :1。mJJJJzzz ,)1(,)(, 72可见 是 的本征矢,本征值为 ,即有mJ,zJ)1(m。,)(C同理有 。)(Jm个。)12(,1,., jjjmJz3、 的本征值为22)1(jj 为 m 的最大值, 0,)(jCjJj将 作用于 ,并利用 ,有J0,jzzJ2jjjJzz ,)(,)(0 22 mjJmjj z,1,)1, 2 j 的取值范围:设 m 有 N 个值,且已知 ,21NjjN可见,j 取零、整数和半整数。如轨道角动量 j=l,电子自旋角动量 。2j三、 表象中角动量的矩阵表示zJ,2已知 。mj jJjjmjj ,)1(,22问题: ?,?, JJyx由 (1),)(jCjm(2))(Jj1,)(, mjj 的非零矩阵元为 J?,1, )()(jmjCjJmj对(1)式两边取共轭:,1,)*(jCj两边同乘以(1)式:73,222)( )1)(, mjjJmjjJjCzzjm取实部 。,)(,)1)()( jjjJjj 非零矩阵元 ,)1)(, mjjj取共轭 。)(1, jmjJj再利用 与 的关系,得到非零矩阵元:yxJ,,)1)(2, mjjJjx。1imy作业:习题 8.3、1,2,4;习题 8.4、3。8.5 两个角动量的相加一、总角动量算符及其对易关系。212121222121 )(,0, JJJJJJ zyx 。,0,0,iizi二、总角动量的本征值与本征矢1、无耦合表象与耦合表象无耦合表象:以 的共同本征态为基矢,记 ,有),(212zzJ 21mj2121212(mjjmjJ2jz212212 )(jjjJ212 mjmz 耦合表象:以 的共同本征态为基矢,记 ,有),(21zJ mj21jjjJ2112(74mjjmjJ21221)(jjJz 21212、两种表象基矢之间的关系 C-G 系数将 用 展开 给定 :mj21 21j 21,jmjm1,21 称为 C-G 系数,它是由“ 无耦合表象”到“耦合表象”jj2121的么正矩阵元。只要知道了 C-G 系数,就可以建立起两种基矢的关系。*三、C-G 系数的求法及应用1、C-G 系数不为零的条件(我们只给出结果,证明见教材) ; 。21m2121jjj2、C-G 系数的计算,C-G 系数表(计算非常复杂,实用中可直接查表略)。*8.6 光谱的精细结构耦合: 能级分裂精细结构(同样的 n,l,能级有两个)。LSSLrH)(*8.7 复杂(反常)塞曼效应弱磁场中: 分裂数不是三个,间隔也不尽相同。SLr)(复杂(反常)塞曼效应8.8 自旋单态与三重态一、总自旋角动量及其对易关系。212121222121 )(,0, SSSSSzyx 。ii ,对于电子, 。221
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