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量子力学考研模拟题参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:)(EtrpiAe2、定态:定态是能量取确定值的状态。性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:)()(211212qqA 。4、 )(2xxpi= xxxx pipii , ,因为 x是厄密算符,所以是厄密算符。5、设 F和 G的对易关系 kiFG, 是一个算符或普通的数。以 F、和 k依次表示 、 和 在态 中的平均值,令 ,则有 422k)(,这个关系式称为测不准关系。坐标 x和动量 xp之间的测不准关系为: 2xp二、解 1、由于 12A,所以算符 A的本征值是 1,因为在 A 表象中,算符A的矩阵是对角矩阵,所以,在 A 表象中算符 的矩阵是: 10)(设在 A 表象中算符 B的矩阵是 21)(b,利用 AB得:021b;由于 12,所以 021b2110221b,21;由于 B是厄密算符, B, 12b*12*12令 ieb,其中 为任意实常数,得 在 A 表象中的矩阵表示式为:0)(iiAB2、类似地,可求出在 B 表象中算符 A的矩阵表示为: 0)(iieBA在 B 表象中算符 A的本征方程为: 0iie,即 i 0iie 和 不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即 i12 1对 1有: iAe,对 有: 2iAe所以,在 B 表象中算符 的本征值是 1,本征函数为 1i和 2ie3、类似地,在 A 表象中算符 B的本征值是 ,本征函数为i和 1i从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符 B在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵,即 12iieS三、解: 已知氢原子的本征解为:)3,21(120naeEsn),(),(lmnlnlmYrRr,将 ),(r向氢原子的本征态展开,1、 0=lnc,不为零的展开系数只有三个,即2)(20c, 21)(310, 21)0(c,显然,题中所给的状态并未归一化,容易求出归一化常数为: 54,于是归一化的展开系数为:5142)0(21c, 521)0(3c, 5241)0(21c(1)能量的取值几率3,2EW, ,(3EW,平均值为: 325(2) 2L取值几率只有: 1)0,(2,平均值 2L(3) z的取值几率为: 53),(W, 52)0,(W,平均值5z2、 0t时体系的波函数为: ),(tr=nlmnnl tEirc)exp(),()0)exp(),()0)exp(,0),() 331212121 tirctEicrc exp,5)(),(5,5 310220 tirtir 由于 E、 2L和 z皆为守恒量,所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变,与 t时的结果是一样的。四、解:(1) H的本征值是方程 0)det(IH的根)34203 22CCC结果: 2, 21,这是 的精确解。(2)根据题意,体系能级的二级修正可写为: )2()1()0(nnEE由题设可知:能量的一级修正为: 01H, 2, H3对于二级修正,有: )(2)(3)(1)(2)0(1)2( CCE2)(3)0()(23)0(1)(2)( CEH)()(3)()(3)( 所以, 1, 2E, C3将 2C展开: )2(2C12, , 1(3)对比可知,根据微扰公式求得的能量二级修正值,与精确求解的结果是吻合的。五、解:02)(21iiSSyx,121 iiyx 2)2(1 iiSSyx 01212 iiyx所以 S和 分别作用于 zS的本征态 01和 2的结果是021S, 21S, 21S,0S结果表明:称 为自旋升算符是合理的,因为它将 z方向的自旋从 2增加到。同样,称 为自旋降算符,因为它将 方向的自旋从 降到 。S和 容许我们从 zS的一个本征态跳跃到另一个本征态,它们在自旋的计算中是非常有用的。
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