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求不定积分的几种方法刘灯(吉首大学数学与计算机科学学院,湖南 吉首-416000)摘 要 :本文比较全面的总结了几种求不定积分的方法,并给出了相应的例子.关键词:直接积分;第一换元积分;第二换元积分;分部积分;有理函数积分Several methods of seeking indefinite integral Liu deng(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou -416000) Abstract: This article compares a comprehensive summary of several seeking indefinite integral method, and gives examples of the corresponding Key words: direct integral; first substitution integral; second substitution integral; branch points; rational function integral 1引言 定义 1.1 设函数 与 在区间 上都有定义,若fFI,Ixf),(则称 为 在区间 上的一个原函数。FfI定义 1.2 函数 在区间 上的全体原函数称为 在 的不定积分,记作fI,dxf)(其中称 为积分号, 为被积函数, 为被积表达式, 为积分变量。)(xf x定义 1.3 若 是 的一个原函数,则称 的不定积分是一个函数族 ,Ff f CF其中 是任意常数,为方便起见,写作C .CxFdf)()(这时又称 C 为积分常数,它可取任一实数值。定义 1.4 设 在 上有定义, 在 上可导,且 ,)(ug, )(uba, bxa)(,并记bax,.,)()(xgxf(i)若 在 上存在原函数 ,则 在 上也存在原函数 ,)(ug, uGfba)(xF,即xFCGdugxgdxf )()()(. (1)CGu)(ii)又若 ,则上述命题(i)可逆,即当 在 上存在bax,0)( )(xfba,原函数 时, 在 上也存在原函数 ,且 = ,xFug)(uCuF1即 dxfxgd)()()(= . (2)CuF)(1以上(i)和(ii)分别称为第一换元积分法和第二换元积分法,公式(1)和(2)分别称为第一换元公式第二换元公式。定义 1.5 若 与 可导,不定积分 存在,则 也)(xuvdxv)( dxvu)(存在,并有(3)uxd)()()(公式(3)称为分部积分公式,常简写作.vd定义 1.6 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为, (1)mnnxXQxpR10)(其中 为非负整数, 与 都是常数,且mn, n,10 ,1 .0,0若 ,则称它为真分式;若 ,则称它为假分式。m定义 1.7 基本积分公式如下:(1) . (2)Cdx0.Cxd1(3) . (4) .)0,1(1x )0(ln1xCdx(5) . (6) .Cedx )1,(laaxx(7) .)0(sin1cosaxa(8) .coixd(9 .Ctasec2(10) .xc(11) .dxsetanse(12) .Cxcoc(13) .12arcosarsin1xx(14) 12 tctd2主要方法的列举及运用2.1根据基本积分公式求不定积分例 2.1 求 的不定积分。xdsin3co解 dxx)2sin4(21i.s Cco1.x)s(c82.2用第一换元积分法来求不定积分。利用该方法求不定积分的步骤是:(1)将 凑成 形式;(2)作变量代换,令 ;)(xf)(xg dxuxu)(),((3)换回原来的变量,即 代替 ,从而求出函数的积分。u例 2.2 求 .xdtan解 由,cos)(cosintadxdxx可令 ,则得ugu1)(, .ln1tanCuxcoslx2.3利用第二换元积分法求不定积分,该方法的步骤为:(1)变量代换;(2)换回原来的积分。例 2.3 求 .)0(2adx解 令 ,于是,sintax tdtt22 cos)sin(coCttat)in1(212= +C)(arcsin22xx= +C.i122a2.4利用分部积分法求不定积分,运用此方法的关键在于 与 的选取,)(xuv而 与 的选取又必须注意以下两点:(1) 要容易求;(2))(xuv )(xv比 要容易求。d)(xdu例 2.4 求 .cos解 令 ,则有 由分部积分公式求得xv,.sin,1xvuddics.Cxxcos2.5用有理函数的不定积分法。看到一个不定积分函数,如果用换元积分法和分部积分法都无法解答出来,则必须用有理函数积分法。有理函数的积分可归结为多项式和最简真分式的积分,该方法适合于求有理函数的不定积分。例 2.5 求 .dxx22)(1解 在本题中,由于被积函数的分母只有单一因式,因此,部分分式分解能被简化为 2222222 )(11)()(1 xxxx现分别计算部分分式的不定积分如下: .122 )arctn(1)( Cxdxdx2222 )()(1222 1)()(xxd= 22)(1td由递推公式,求得其中 12)()1(22 tttd= 22 )arctn()( Cxx于是得到 .)1arct(23)(2)2(1xxdxx 2.6用三角函数有理式的不定积分法。通常情况下,当被积函数是时,通过变换 ,可把它化为有理函数的不定积分。特别地,)cos,(inRtan当被积函数是 及 的有理式时,采用变换 往往较为x2cos,i xcosi xtan方便。例 2.6 求 .21dx解 令 ,则有t ,)1(8,1)(22dttdxttt)(42= dtt)12(Cttarcnln= .2arct2)(1l xx2.7某些无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分,然后再根据有理函数的不定积分法来求。 (1)当无理根式为 型 时,dcxbRn)( )0(bc只需令 ,就可化为有理函数的不定积分;(2)当无理根式为ndcxbat型 时, 时, 时,可将R),(20(a0;42acb)042acb其转化为以下三种类型之一: 当分别令,)(,),( dukRdukuR后,它们就都化为三角有理式的不定积分。tkuttkusin,sec,an例 2.7 求 .32xdI解 若令 则可解出,2tx,)1(23,)1(23dttdxtx.)1(23)(tt于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分: dttttI 222 )(*)3(1*3)( = Cdtarctn2= .xx3arctn32参考文献:1 华东师范大学数学系M.北京:高等教育出版社,2001 年 6 月.
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