群论及其应用习题及答案,2 习题: 试将由 D3 群二维不可约表示 D3 的矩阵元构成的投影算符 P223 , P213 与 P123 作用到函数 F = sin2 上, 求 D3 的一组基矢 13 和 23. 并结合课上介绍的 P113 对 F 作用的结果一起进行 讨论 *,答案: 3 按照投影算符的公式 P i = ( ni / h ) R D i* ( R ) PR 可算得 P223 F = ( 2 / 6 ) ( PE PA + PB / 2 + PC / 2 PD / 2 PF / 2 ) F = sin2 - sin2 ( - ) + sin2 ( 120o - ) / 2 + sin2 ( 240o - ) / 2 - sin2 ( + 120o ) / 2 - sin2 ( - 120o ) / 2 / 3 = sin2 - sin2 ( ) + sin2 ( 120o - ) / 2 + sin2 ( 120o + ) / 2 - sin2 ( + 120o ) / 2 - sin2 ( - 120o ) / 2 = 0 P123 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC + PD PF ) F = ( 31/2 / 6 ) sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - ) + sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) = ( 31/2 / 6 ) sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 120o + ) + sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) = 0 *,P213 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC - PD + PF ) F 4 = ( 31/2 / 6 ) sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - ) - sin2 ( + 120o ) + sin2 ( - 120o ) = ( 31/2 / 6 ) 2 sin2 ( - 120o ) 2 sin2 ( + 120o ) = ( 31/2 / 3 ) sin2 ( - 120o ) + sin2 ( + 120o ) sin2 ( - 120o ) sin2 ( + 120o ) = (31/2/3)(sincos120o +cossin120o-cossin120o+sincos120o ) (sincos120o-cossin120o-sincos120o-cossin120o ) = (31/2/3) 2 sincos120o(-2cossin120o ) = (31/2/3) 4 (1/2) (31/2/2) sin cos = sin cos 将此归一化得 23 = 2 1/2 cos sin , 或 2-1/2 sin cos ,再将 P123 作用在 23 上可得 13 5 P123 23 = ( sin2 - cos2 ) / 2 将此归一化得 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ) 课上曾讲过 P113 F = P113 sin2 = ( sin2 - cos2 ) / 2 将此归一化得 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ) 结果整理如下: P223 F = P223 sin2 = 0 P123 F = P223 sin2 = 0 P213 F = P223 sin2 = sin cos 23 = 2 1/2 cos sin P123 23 = ( sin2 - cos2 ) / 2 P113 F = P113 sin2 = ( sin2 - cos2 ) / 2 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ),讨论 : 6 问题1: P223 F = P123 F = 0 说明什么? 答案: 说明 F = sin2 中不含有D3 群二维不可约表示D3 的第二 个基矢 23 = 2 1/2 cos sin 问题2: 有什么途径可以得到 23 ? 答案: 由 P213 F = P223 sin2 = cos sin , 可得到23 问题3: 为什么由 P213 F 可得到 23 ? 答案: F 中有 13, P213 作用在 F 中的 13 上可得到 23 问题4: 还有什么途径可以得到 23 ? 答案: 先由 P113 F = P113 sin2 得 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ), 再由 P213 13 得 23 = 2 1/2 cos sin 问题5: 由 P213 F 可得 23, 是否可由P123 F 可得 13 ? 为什么? 答案: 因为 F 中没有 23, 所以不能由P123 F 可得 13 *,