,a,圆上任一点所画出的曲线。,旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,旋轮线,2a,2a,a,x = a (t sint) y = a (1 cost),t 的几何意义如图示,t,a,当 t 从 0 2，x从 0 2a,即曲线走了一拱,a,圆上任一点所画出的曲线。,旋轮线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,心形线,(圆外旋轮线),a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,心形线,(圆外旋轮线),a,a,a,2a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),心形线,2a,r = a (1+cos ),0 2,0 r 2a,P,r,一圆沿另一圆外缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),心形线,a, a,一圆沿另一圆内缘无滑 动地滚动，动圆圆周 上任一点所画出 的曲线。,星形线,(圆内旋轮线),a, a,来看动点的慢动作,.,一圆沿另一圆内缘无滑 动地滚动，动圆圆周 上任一点所画出 的曲线。,星形线,(圆内旋轮线),a, a,来看动点的慢动作,.,一圆沿另一圆内缘无滑 动地滚动，动圆圆周 上任一点所画出 的曲线。,星形线,(圆内旋轮线),a, a,0 2,或,.,P,.,.,一圆沿另一圆内缘无滑 动地滚动，动圆圆周 上任一点所画出 的曲线。,星形线,(圆内旋轮线),元 素 法,解 题 步 骤,定积分应用中的常用公式,一、主要内容,1、所求量的特点,2、解题步骤,3、定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,(5) 变力所作的功,(6) 水压力,(7) 引力,(8) 函数的平均值,二、典型例题,（柱壳法）,（切片法）,（图形的对称性）,换元,下限上限,换元,下限上限,例3,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,y,y-dy,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,例4,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到水压力为,t,解,存在性,由零点定理,唯一性,由于,解,于是所求面积为,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,例7,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令 r = 0,S =,4,+,.,作业:,P293 2. 3. 5. 6、 7. 8.,测 验 题,测验题答案,