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学院 姓名 学号 任课老师 选课号 密封线以内答题无效第 1 页 共 4 页电子科技大学二零零 七 至二零零 八 学年第 1 学期期 末 考试量子力学 课程考试题 A 卷 ( 120 分钟) 考试形式: 闭卷 考试日期 200 8 年 月 日课程成绩构成:平时 20 分, 期中 10 分, 实验 0 分, 期末 70 分一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 合计一、填空(每空 2 分,共 30 分)1、德布罗意关系为: 。 (没有写为矢量也算正确)kpE2、量子力学的状态由 波函数 描述,在体系空间 r 点处小体积元 d 内粒子出现的几率与 波函数模的平方 (| 2) 成正比。3、非简并状态加上微扰后,能级会发生 移动 ;而简并状态加上微扰后,能级会发生 分裂 。4、任意两个力学量 A 和 B 有共同的本征函数,则 = 0 ,表明 和 对易 。,BAAB5、力学量 F 的算符是 厄密 算符,其本征函数系组成 正交归一完备系 。6、费米子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换反对称 ,玻色子组成的多粒子体系的波函数的特征是 交换对称 。7、泡利不相容原理指 任何两个全同费米子不能处于完全相同的状态 。8、一维线性谐振子的量子数取 n 的波函数为 n(x),其定态薛定谔方程为,与 n(x)相对应的能量为 。)()(2(2 xExkdmnn )2/1(n9、粒子处于三维无限深势阱中,能量为 ,能量最低的三个能态的简并度分别)(22321ma为 1,3,3 。 (答对 1 或 2 个给 1 分,3 个全对给 2 分)二、简答题(每小题 5 分,共 20 分)1、写出至少五个力学量的算符。(任意 5 个,正确一个 1 分)iprzyx, (答对 1 或 2 个给 1 分,3 个全对给 2 分)学院 姓名 学号 任课老师 选课号 密封线以内答题无效第 2 页 共 4 页2、简述测不准原理及其意义。测不准原理:粒子的坐标和动量不可能同时准确测量。 (3 分)2/xp(更一般意义上,对于力学量 A 和 B,若 和 不可对易,且 ,CiBA,则存在测不准关系: ) 2/C意义:波粒二象性的反映;反映了把经典概念用于微观世界所受到的限制。 (2 分)3、什么是斯塔克(Stark)效应?试用微扰理论解释斯塔克效应。斯塔克(Stark)效应是指:原子在外电场作用下,它所发射的光谱谱线会发生分裂。 (2 分)解释:不考虑自旋时,氢原子 n2 的能级 4 度简并,电子从 E2 能级跃迁到 E1 能级只产生一条谱线。当受到外加电场作用后,4 度简并的 E2能级发生分裂形成 3 个能级,从而形成 3 条光谱谱线。 (3 分)4、计算对易子 。,dx假设 为任意一个波函数, (2 分)(2 分))(,xdx所以 (1 分),三、计算题(1,2,3 题每题 15 分,4 题 5 分,共 50 分)1、氢原子处于状态 ,试求:),()3),(),( 1,202 YrRYrRr(1)能量算符 ,角动量平方算符 和角动量 z 分量算符 的可能取值;HLzL(2)上述三个力学量取各可能值的几率;(3)上述三个力学量的平均值。该波函数未归一化,首先归一化。假设归一化波函数为 ),()3),(),( 1,202 YrRYrRAr则有:A 2(13)1,所以 A1/2归一化波函数为 (2 分)),(),()1),( 1,202 E1E2学院 姓名 学号 任课老师 选课号 密封线以内答题无效第 3 页 共 4 页(1) 能量算符的可能取值:E 2 (1 分)角动量平方算符的可能取值:0, (2 分,每个 1 分)角动量 z 分量算符的可能取值:0, (2 分,每个 1 分)(2) 能量算符取 E2 的几率:1 (1 分)角动量平方算符取 0 的几率: 1/4 (1 分) 取 的几率:3/4 (1 分)2角动量 z 分量算符取 0 的几率:1/4 (1 分) 取 的几率: 3/4 (1 分)(3) 能量平均值: E2 (1 分)角动量平方平均值: (1 分)23角动量 z 分量平均值: (1 分)42、粒子在势能为 的势阱中运动,粒子的能量 E0。求:00)exp(A(1)归一化常数 A;(2)在何处发现粒子的几率最大; (3)动量的平均值。( )10!maxmde(1)归一化: (3 分) (2 分)02xA /3A(2)粒子在空间出现的几率密度为: (2 分)xeW2324|)(解得 (2 分))(xWd 1,0321xx根据物理意义,粒子出现几率最大位置: (1 分)(3)动量的平均值: (中间过程,2 分)0 3)(!)2(1)(,220 AidxexAiiexx(答案 1 分)4、粒子处于状态: ,求粒子的平均动量和平均动能。)cos()(kxx)(2)2121(2cos) /k kxikxiiikA eeAeAx 其中, 和 是动量的本征函数k归一化: 所以 (3 分)1)(2/1A)(2)(kx动量平均值: (1 分)0kp动能平均值: (1 分)mkmT2)(2)(2(2 分)
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