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12 研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1 (1994 年、数学三、选择)设 是来自总体 的简单随机样本, 是样本均值,记),(21nX ),(2NX, , ,211(iiS 21iiXnS 2213)(iinS则服从自由度 的 分布的随机变量是 ( ) 。2214)(iiXntT. .A1SB12nSX. . 答案:选 CnX3D4 B当 时,服从自由度 的 分布的随机变量应为2212)(iiXS 1ntTS、由 ,A22121)(XnSii 11nSX而不是 T、由B 212221 1)()( SnXnXnSiiii 。STn122 (1997 年、数学三、填空)设随机变量 相互独立,均服从 分布且 与 分别是来自YX, )3,0(2N91,X 91,Y总体 的简单随机样本,则统计量 服从参数为( )的(, 2921YU)分布。 答案:参数为( )的( )分布9t解:由 相互独立,均服从 分布,又 与 分别来自总体YX, )3,0(2N1,X 91,Y,可知 与 之间均相互独立,均服从分布91, 91,Y )30(2N因而 , , ,)3,0(291ii )1,0(1Xii 1,3i,且 与 相互独立,)(3291iiY91ii912iY因而 服从参数为 的 分布。29219129123 YXYXiiiiYiii 9t3 (1998 年、数学三、填空)设 是取自正态总体 的简单随机样本且),(4321X)2,0(NXY,则 ( ) , ( )时,统计量 服从243)(baab分布,其自由度为( ) 。 同学习指导文件综例 6.9.1 2答案: ( ) , ( )时,统计量 服从 分布,其自由度为( )0101Y22由统计量 Y24321 )()(XbXa 24321 )()( XbXa设 即,4321121i由 可知 , ,且),0(2NX),0(2Ni ,i0)2() 21211 aEXaXaEY4343()43(2 bbbaDD)() 2221211 bXXY 106969()( 43432 若统计量 服从 分布,则由 ,可知自由度为 且 服从标准正态221iY2iY),(分布,即, , 。021EY20121aD1002bDY4 (1999 年、数学三、证明)设 是取自正态总体 的简单随机样本,921,X X, , ,证明统计61iiY9723iiY SYZYSii )(2,)(2121962量 服从自由度为 的 分布。Zt证明:记 (未知) ,易见 , 由2DXEX21 ,621D32于 和 相互独立,可见 ,1Y2 0)(21YE3)(21Y从而),(21NU由正态总体样本方差的性质,知)(22S由于 与 独立、 与 以及 与 独立,可见 与 独立。1Y212Y221YS于是,由服从 分布的随机变量的结构,知t。)()(221tUSZ5 (2001 年、数学三、填空)设总体 X 服从正态分布 ,而 是来自总体的简单随机样本,则随)0(2N1521,X机变量)(215210Y服从( )分布,参数为( ) 。 同学习指导文件综例 6.9.3答案 填:F (10,5)解: )5(4),10()(4),10(2 2152121021 XXNXi 且显然此二者相互独立,则: )5,10(5)(410)()(221221225110 FXXY 6 (2001 年、数学四、计算)设总体 X 服从正态分布 ,从中抽取简单随机样本 ,)0(),(2NnX21,( ) ,其样本均值为 ,求统计量2nniiX1niiniY1)(的数学期望 E(Y)。解:222)(,)(,)(,nXEnDXEiii ni ininiiniiii XY1 122 )44(ni niiiii i iiiii XX2112214 2222121 )1()(4)( () nnnXEEYEni iinii魏宗舒1. 设 是来自服从参数为 的泊松分布 的样本,试写出样本的联合分布律。2. 解 2. 设 是来自 上的均匀分布的样本, 未知(1)写出样本的联合密度函数;(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?(3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。2. 解 (1) 0 其他(2) 和 是, 和 不是。因为 和 中不含总体中的唯一未知参数 ,而和 中含有未知参数 。(3)样本均值样本方差 实际应为除以 n-1样本标准差 。3. 查表求 , , , 。3. 解 , , ,。4. 设 ,求常数 ,使 。4. 解 由 t 分布关于纵轴对称,所以 即为 。由附表 5.6 可查得 ,所以 。5. 设 是来自正态总体 的样本,试证:(1) ;(2) 。5.证明:(1) 独立同分布于 ,由 分布的定义, ,即。(2)易见, ,即 ,由 分布的定义,即 。6. 设 是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个都服从 。(1)试给出常数 ,使得 服从 分布,并指出它的自由度;(2)试给出常数 ,使得 服从 t 分布,并指出它的自由度。6. 解(1)易见, 即为二个独立的服从 的随机变量平方和,服从分布,即 ;自由度为 2。(2)由于 ,则 。又 , 与 相互独立,则即 即 ,自由度为 3。7. 设 是取自总体 的一个样本,在下列三种情况下,分别求:(1) ;(2) ;(3) ,其中。7. 解 (1)(2)(3) ,其中8. 某市有 100000 个年满 18 岁的居民,他们中 10%年收入超过 1 万,20%受过高等教育。今从中抽取 1600 人的随机样本,求:(1)样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率;(2)样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率。 8. 解(1)引入新变量:1,第 个样本居民年收入超过 1 万0,第 个样本居民年收入没超过 1 万其中易见:又因 ,故可以近似看成有放回抽样, 相互独立。0-1 分布 Ex=p,Dx=pq样本中年收入超过 1 万的比例即为 ,由于 较大,可以使用渐近分布求解,即 ,所求概率即为(2)同(1)解法引入新变量:1,第 个样本居民受过高等教育0,第 个样本居民未受过高等教育其中答:(1)样本中不少于 11%的人年收入超过 1 万的概率为 0.0918;(2)样本中 19%和 21%之间的人受过高等教育的概率为 0.6826。9. 设总体 , (1)抽取容量为 36 的样本,求 ;(2)抽取容量为 64 的样本,求 ;(3)取样本容量 n 多大时,才能使 。9. 0.9916,0.8904,96。10. 设总体 , 皆未知,已知样本容量 ,样本均值,修正样本方差 ,求 。10. 0.5。11.设是 来自正态总体 ,容量为 的样本,求下列统计量的抽样分布:(1) ;(2) ;(3) 。11. (1) ;(2) ;(3) 。12.若 ,则 服从什么分布?12. 。13.设 是来自泊松分布 的一个样本, 与 分别为样本均值与样本方差,试求 。13. , , 。14. 某区有 25000 户家庭,10%的家庭没有汽车,今有 1600 户家庭的随机样本,试求:9%11%之间的样本家庭没有汽车的概率。14. 0.8164。1.设总体 XN(60,15 2) ,从总体 X 中抽取一个容量为 100 的样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 3 的概率.【解】=60, 2=152,n=100 (0,1)/ZNn即 6(,)5/X(|60|3)(|01|2PXPZPZ2)(.97)0.4562.从正态总体 N(4.2,5 2)中抽取容量为 n 的样本,若要求其样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于 0.95,则样本容量 n 至少取多大?【解】 4.2(0,1)5/XZN.6.24(2.6.)( )5PPnZn0.41.9,则 (0.4 )=0.975,故 0.4 1.96,nn即 n24.01,所以 n 至少应取 253.设某厂生产的灯泡的使用寿命 XN(1000, 2) (单位:小时) ,随机抽取一容量为 9 的样本,并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误,事后失去了此试验的结果,只记得样本方差为 S2=1002,试求 P( 1062).【解】=1000,n=9,S 2=100210(8)/3/Xt t1062(62)(1.86)0.5/3PtPt4.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本,假定有 2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上,求总体的标准差.【解】 ,由 P(| -|4)=0.02 得(0,1)/XZNnXP|Z|4(/n)=0.02,故 ,即4102.2410.9查表得 .3,所以 4105.2.5.设总体 XN(,16) ,X 1, X2,X 10 是来自总体 X 的一个容量为 10 的简单随机样本,S2 为其样本方差,且 P(S 2a)=0.1,求 a 之值.【解】2 299(),)0.166查表得 914.8,6所以 2.105a6.设总体 X 服从标准正态分布,X 1,X 2,X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本,试问统计量Y= ,n 5niiii6251)(服从何种分布?【解】 2522211(),(5)i ni iiXX且 与 相互独立.12所以 21/5(,5)XYFn7.求总体 XN(20,3)的容量分别为 10,15 的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3 的概率.【解】令 的容量为 10 的样本均值, 为容量为 15 的样本均值,则 N(20,310), YXN(20, ),且 与 相互独立 .Y15则 30,(0,.5)XN那么 (,1).5YZ所以 0.3(|0.3)|21(0.4)5PXPZ2(1.68).78.设总体 XN(0, 2),X 1,X10,X15 为总体的一个样本.则 Y=服从 分布,参数为 . 215210【解】 i=1,2,15.(,)i那么 1 22 20 152(0),(5)i ii iXX且 与 相互独立,12所以 22211015/(0,5)()XXYF 所以 YF 分布,参数为(10,5).9.设总体 XN( 1,2),总体 YN(2,2),X1,X2, 和 Y1,Y 2, 分别来自总体 Xn2n和 Y 的简单随机样本,则= . 2)()(1212nYXEnjjni
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