1B高三物理竞赛辅导磁场与电磁感应第一讲 磁场主讲：孙琦一、毕奥萨伐尔定律与磁力矩1毕奥萨伐尔定律如图所示，设 L 为导线的一段微元，其电流强度为 I，则在真空中距该“线微元”为 r 的 P 处，此通电线微元产生的磁感应强度为： ，式中 为电流sin420LrB方向与 r 之间的夹角， ， 的方向可由右手定则得。AmT/10470细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为: , 是螺线管单位长度上线圈的匝数,nIB0此式表示的是匀强磁场2磁力矩匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为： 式中的 N 为线圈cosNISM匝数，I 为线圈中通过的电流强度， 为线圈平面与磁场方向所夹的角，S 为线圈的面积，而不管线圈是否是矩形，且磁力矩的大小与转轴的位置无关。例 1.如图所示，将均匀细导线做成的环上的任意两点 A 和 B 与固定电源相连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。例 2.一个质量均匀分布的细圆环，其半径为 r，质量为 m，令此环均匀带正电，总电量为 Q。现将此环放在绝缘的光滑水平面上，如图所示，并处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以匀速度 沿图示方向旋转时，试求环中的张力。2例 3.两根互相平行的长直导线相距 10cm ，其中一根通电的电流是 10A ，另一根通电电流为 20A ，方向如图。试求在两导线平面内的 P、Q 、R 各点的磁感强度的大小和方向。例 4.如图所示，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流 ，已知由 产生磁场的公式是0I0I， 为恒量， 是场点到 导线的距离。边长为 2L 的正方形线圈轴线 OO与rIkB0r0I导线平行。某时刻该线圈的 ab 边与导线相距 2L，且过导线与中心轴线 OO的平面与线圈平面垂直，已知线圈中通有电流 ，求此时线圈所受的磁力矩。分析：画俯视图如图所示.先根据右手螺旋法则确定 B1 和 B2 的方向，再根据左手定则判断 ab 边受力 Fl 和 cd 边受力 F2 的方向.然后求力矩.解：根据右手螺旋法则和左手定则确定 B1 和 B2、F 1 和 F2 的方向，如图所示.两个力矩俯视都是逆时针方向的，所以磁场对线圈产生的力矩 1203MkIL点评：安培力最重要的应用就是磁场力矩.这是电动机的原理，也是磁电式电流表的构造原理.一方面要强调三维模型简化为二维平面模型，另一方面则要强调受力边的受力方向的正确判断，力臂的确定，力矩的计算.本题综合运用多个知识点解决问题的能力层3yxOB次是较高的，我们应努力摸索和积累这方面的经验.学生练习：如图所示，倾角为 的粗糙斜面上放一个木制圆柱，其质量为 ， kgm2.0半径为 r，长 ，圆柱上顺着轴线 绕有 10 匝线圈，线圈平与斜面平行，斜面ml1.0O处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为 ，当通入多大电流时，圆柱才不致TB5.0往下滚动？二、电荷在磁场中的运动例 5.如图所示，A 1 和 A2 是两块面积很大、互相平行又相距较近的带电金属板，相距为d，两板间的电势差为 U，同时，在这两板间还有方向与均匀电场正交而垂直纸面向外的均匀磁场，一束电子通过左侧带负电的板 A1 的小孔，沿垂直于金属板的方向射入，为使该电子束不碰到右侧带正电的板 A2，问所加磁场的感应强度至少要多大？学生：在空间有相互垂直的场强为 E 的匀强电场和磁感应强度为 B 的匀强磁场，如图所示，一个电子从原点由静止释放，求电子在 y 轴上前进的最大距离。4例 6.图中，一个质量为 m、带正电荷 q 的小球用长为 l 的细线悬挂在匀强磁场中，拉开至最大角 后释放，令其自由摆动，磁场方向垂直纸面向里.欲使摆球周期不受磁场影响，问对 B 大小的取值有什么限制?分析：洛伦兹力始终沿着悬线方向，向右运动时指向 O，向左运动时背离 O，对回复力无贡献，不会改变 g 的大小.单摆周期公式 中，惟一可能受磁场影响的就是2/Tlgl，向右运动时拉力与洛伦兹力同向，且速度变大时洛伦兹力变大，拉力会变小，万一在某一位置(未必是平衡位置)出现拉力为零，线松弛，小球浮起，摆长小于 l，周期就会改变.解：先确定拉力有可能出现零的位置，设此时的夹角为 x，小球正向右运动，洛伦兹力不做功，小球机械能守恒： 21(cos)mvgl得 v2=2gl(cosxcos) 在该位置，设小球受拉力为 F 则：2vxqBml得 cos2(cos)2(cos)Fmglxgl下面设 (),ttl l则式变为222336coscosmqBgqBltqBgtl l m可见，当 拉力 F 有最小值，要使摆周期不受磁218txm时 即 时场影响，应使 Fmin0，也就是令(6m 2gcosq 2B2l)/6m0.须 这就是对磁场取值的限制。6cos/,Bglq点评：此题是物理模型和数学模型的融合，相当有技巧，思考性很高，值得作一推荐.应该回味的环节有三个：一是影响周期是因为有可能改变 l 而不是改变 g.二是平衡位置虽然是速度最大位置但未必是拉力最大位置，原因是式中有个第三项，该项前是负号且内中有 cosx；三是通过数学上的白变量变换求 F 的极值. 建议读者认真研究这个例题.5例 7.如图所示，离子源 S 机会均等地持续向各个方向发射大量电荷为 q、质量为 m、速率为 v0 的带电粒子，q 为正.S 右侧有半径为冠的圆屏，s 位于过圆心的轴线上.设空间有足够大的匀强磁场，大小为 B，方向向右指向圆屏.在发射出的正离子中有的不论 SO 距离如何变化总能打到屏上。不计离子之间的碰撞，求这类离子数与发射出的总离子数之比.分析：除了速度方向跟 SO 平行的粒子不受磁场力做匀速直线运动击中圆屏圆心之外，其余方向的粒子，都是向右做等螺距螺旋线运动.设粒子的速度方向跟 SO 也就是跟磁感线的夹角为 ，这个知识点不是高考大纲内容，而是竞赛大纲要求的内容.解：离子沿螺旋线向右运动，一定能打中圆屏的离子，其圆周运动半径 r0 ，跟 SO12R距离的远近无关，如图中的径迹 a.其中 .至于 的离子能否击中圆屏，0sinmvrqB0r就跟离子源到屏的距离 SO 远近有关，跟 大小也有关。如图中的径迹 b，如果 很大，r0 很大，即使 SO 十分近，也有可能从圆屏外侧飞过.因此设 角以 为半顶角的锥内任何方向的离子不论 SO 远近都能击中圆屏，由上式嚣 ，得 sinqBR/2mv0.01sin2vRqB因为离子从 S 发射出时各方向机会均等.设想 为半顶角的锥底面向右呈球面膨胀出去，该球面半径 r=R/sin，得到一个球冠，如图所示，该球冠的高为 h=rrcos ，面积为 2rh.那么，所求的无论远近都能击中圆屏的离子数跟 S 发射出的总离子数之比，应等于该球冠面积跟同样半径 r 的球面积之比： 220(cos)11(cos)(sin)41rqBRmv比 值点评：当带电粒子速度跟磁感线成夹角 时，我们分解速度 v：跟磁感线平行的速度 vcos，粒子在这个方向不受磁场力，做匀速直线运动；跟磁感线垂直的速度是vsin，粒子在跟磁感线垂直的平面上做匀速圆周运动， ，周期 .这sinmrqB2mTqB两个分运动合成的轨迹就是螺旋线，螺距 h=vcosT.注意跟初速 v 夹角为 的那条磁感线，并不是螺旋线的中心轴，而是螺旋线包括圆柱面的母线.6例 8.如图所示，x 轴上方有个匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为 B=0.2 T.令一个质子以速率 v0=2106 m/s，由 y 轴上 A 点沿y 方向射人匀强磁场区，回旋了 210之后进入 x 轴下方的匀强电场区，E=3 l0 5V/m，电场线方向与 y 轴正方向夹角 30.不计重力.(1)求质子从 A 点出发到再次进入磁场区，需要多少时间?(2)再次进入磁场区时进入点的坐标值是多少?分析：电场与磁场同时存在于相邻空间，电场力与磁场力不是同时发生作用的，而是先后发生作用，严格地说这不是复合场.例如回旋加速器就不是复合场.笔者把这种类型归入复合场中，不具有准确的意义.解：质子的质量 m=1.671027 kg，电荷 q=1.61019 C. 质子在磁场中旋转 210圆弧，速度 v0 大小不变， 时间276019.60m=.4c,.vrqB进入电场时点的坐标为 Cr(1cos30), 0即 C(19.4cm, 0).127,36tqBA以 v0 进入电场后质子做抛物线运动，沿 x 轴与 y 轴的两个分运动是22011coscos624qEqExttvttmmA 0 3in6inyA 重新进入磁场时的进入点，y=0，从式可解出 代入式可得02,vtqE276200019521 .6()m=7.8c4 3vvqExmqE注意：这个 x 值不是从原点 O 算起而是从 C 点算起，易知，该进入点 P 的坐标值为：y=0， xp=x| xC|=27.8cm19.4cm=8.4cm.总时间 170012277.s66vvttqBqB总71、如图：所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为 匀强磁场的方向水平向外，1,E磁感应强度为 B.有两个带电小球 A 和 B 都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图.已知两个带电小球 A 和 B 的质量关系为 ，轨道半径为3ABm39.Rcm试说明小球 A 和 B 带什么电，它们所带的电荷量之比 等于多少.:ABq指出小球 A 和 B 的绕行方向.设带电小球 A 和 B 在图示位置 P 处相碰撞，且碰撞后原先在小圆轨道上运动的带电小球 B 恰好能沿大圆轨道运动，求带电小球 A 碰撞后所做圆周运动的轨道半径（设碰撞时两个带电小球间电荷量不转移）.2、如图所示，空间同时存在匀强电场和匀强磁场，一质量为 的带电小球系于细线一m端，细线重量不计，长为 ，小球以角速度 旋转时线与竖直方向成 角.此时线中拉l30力为零，场强为 E 的匀强电场方向向上.求小球的带电性质、电荷量.求磁场的磁感应强度。若突然撤去磁场，小球将如何运动？细线中张力 T 为多少？83、如图所示，磁感应强度为 B 的条形匀强磁场区域的宽度都是 ，相邻磁场区域的间1d距为 轴的正上方有一电场强度大小为 E，方向与 轴和 B 均垂直的匀强电场区域.2,dx x将质量为 、带正电荷量为 的粒子从 轴正上方 高度处自由释放，（重力忽略不计）mqxh求粒子在磁场区域做圆周运动的轨道半径 ；r若粒子只经过第 1 和第 2 个磁场区域回到 轴，求自释放到回到 轴需要的时间 ；xt若粒子以初速度 从 处沿 轴正方向水平射出后，最远到达第 个磁场区域并回到0vh k轴，求 、 应该满足的条件.x1d24、回旋加速器中匀强磁场的磁感应强度 B=1T，高频加速电压的频率 ，67.510zfH带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 ，最后粒子束从半径mAI1R=1m 的轨道飞出 ,如果粒子束进入冷却 “圈套”的水中并停止运动 ,问可使“圈套”中的水温升高多少度？设“圈套”中水的消耗量 ,水的比热容 ./kgs42/()cJkgK