1第 3 章 有限差分法3.1 波动方程式的差分法（线性双曲线方程）即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation）（ 3-1 ）0ccuxt（ 3-2 ）)(,()(0,(0xvux从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。理论解：物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度 c 前进。 （前进波）f(x) c f(x-ct)ct2（ 3-3 ）)(),(ctxftu（ 3-4 ）ctxdvtt001, 其中：（ 3-5 ）)0,(),(00 xuxu例：（ 3-6 ）000)(;1)( 即 （ 3-7 ）0xv其解为： （ 3-8 ）)(),(ctut3.1.1 显式法对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time integration method） 。i. FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法（ 3-9 ）tunjjt1 xunjjx21则能产生：xu1x03（ 3-10 ）0211xuctunjjnjj变形后:（ 3-11 ）njjnjj uu112这儿， 为 Courant 数。（ 3-12 ）xtcCourant 数表示物理的传播速度 c 和数值传播速度(x/ t)的比值。该解的特性如图的三角形所示， 的值由 和 所确定。当比值x/ t 保持njunj1ju一致时，不管x 和 t 取多小，其影响的范围是一样的。当物理传播速度 c 比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示) ，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安定。1928 年 Courant、Friedrich、Lewy 因此而提出了所谓 Courant条件。FTCS 法的解的发展xtTan-1(t/ x)物理速度走的路程（Cu1）数值速度走的路程物理速度走的路程（Cu1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为 Von Neumann 不稳定。FTCS 方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的 Tayor 展开为（ 3-20 ）.21)(61tuxucxtu代入波动方程（ 3-21 ）.)(tct xx可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。ii. Lax 差分格式（Lax-Friedrich 方法）FTCS 式中的 unj 项用两边的平均值来代替:（ 3-22 ）njjnjjj u11122其：（ 3-23 ）tan,sico1在 的一定范围内小于 1。11 时： 为纯虚数。（ 3-27 ）221sinsi即当 sin1/时不稳定。此方法分散误差大。iv. Lax-Wendroff 格式 原始 Lax-Wendroff 格式二阶 Tayor 展开，空间中心差分：为 FTCS 格式的修正。此方法由于有附加的扩散项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的 2 阶精度。在 的条件下，除了很大波数，15.0主要含有延迟相位误差。 Lax-Wendroff 两步格式第一步（前 1/2t）：第二步（后 1/2t）：v. MacCormack 的方法 为航天领域应用最广的格式，为 Lax-Wendroff 两步格式 的一种，但不计算 j+1/2 点的值。适用于非线性问题。对于线性问题。采用7预测修正因子法(predictor-corrector) 。预测阶段：修正阶段 结果同 Lax-Wendroff 两步格式。vi. 1 阶精度上风法时间向前，空间向后：Taylor 展开右为截断误差。utt、uttt 用 uxx、uxxx 表示：时间空间都为 1 阶精度。当0 时，截断误差为零。0. 50Pe0Pe=0LO L x013( 20niiniini 1112其中 ( 21 )2xta形式同波动方程一样，可利用 Von Neumann 稳定性条件，得到：( 22 )1ii. 通用 Crank-Nicolson 法( 23 2112111 xxat niininiininii 14iii. 边值问题3 点计算分子方法，最后的代数方程形式：( 24 )iiWiEiPQA11扩散项，采用中心差分CDS：( 2512121iiii xx； ( 26iii121 121iix( 27dWEdPiii iiiidEAxx11对流项 采用上风法（UDS）：（28;0if,11uxuxii( 29cWEcP iciiAxx;,mn;0,mn11AEc 或 AWc 有一个为零，取决于流动方向。 CDS 法( 301iixux( 310;11dWEcP iiciiAxux15（图: CDS 和 UDS 对流项的比）结果表明，当网格数小的时候，UDS 的数值扩散严重，假扩散大于真扩散。相反的，CDS 出现振荡严重。振荡是由于值的梯度在最后二点突然变化的缘故。当网格数增加，CDS 比 UDS 更接近真正解。采取非均匀网格，CDS 也可比UDS 精度高。CDS 的振荡取决于局部 Peclet 数的大小。它定义为( 32/Pexu当满足 Pe2 时，CDS 没振荡。振荡仅发生在变化很激烈的地方。3.3 椭圆型方程的差分方法（Laplance 方程，抛物线性的稳态问题）3.4 边值问题：( 33 )02yux椭圆型方程为满足适合性条件，必须给出所有边界的边界条件。差分形式：( 34 )021,1,2,1,1 yuuxkjjkjjkjkj直接求解法考虑等格式的条件：x=y，则：( 35 )(411,1, kjkjjkjkj uuu此方程的联合求解，需要解一个大的矩阵，需要很大的计算机内存。因此，往往采用结合缓和法（relaxation method ）的迭代求解方法（iterative method）.点迭代法 (Point Jacobi Method)例如利用下面迭代求解方法：( 36 )(411,1,1, nnn kjkjkjkjkj uu这儿，n 为迭代次数。松弛法(relaxation method)Gauss-Seidal 法16SOR 法17