-1-非线性物理混沌引言非线性是在自然界广泛存在的自然规律，相对于我们熟悉的线性要复杂得多。随着物理学研究的不断深入，非线性问题逐渐被重视起来，现已出现了多个分支，混沌便是其中之一。混沌现象在生活中广泛存在，如著名的蝴蝶效应、湍流、昆虫繁衍等 1。要直观地演示混沌现象，采用非线性电路是一个非常好的选择。能产生混沌现象的自治电路至少满足以下三个条件 2：1）有一个非线性元件，2）有一个用于耗散能量的电阻，3）有三个存储能量的元件。如图 1 所示的蔡氏电路（Chuas circuit） 3,4是一个符合上述条件、非常简洁的非线性电路，由华裔物理学家蔡绍棠（Leon O. Chua）教授于 1983 年提出并实现。近年来，非线性电路的研究领域有了长足进展，新的混沌与超混沌电路 5的理论设计与硬件实现等问题备受人们关注。如 Chen 氏电路 6、Colpitts 振荡电路 7、基于 SETMOS的细胞神经网络结构的蔡氏电路 8，都能用于研究混沌现象，并有不同的应用领域。实验原理在众多的非线性电路中，蔡氏电路因其结构简单、现象明晰，成为教学实验中让学生接触、了解混沌现象的最佳选择，大量基于蔡氏电路的实验仪器 9-11被广泛应用于高校实验教学。蔡氏电路（如图一所示）的主要元件有可调电阻R（电路方程中以电导 G=1/R 做参数，以下方程求解过程都用 G 来表示，而涉及实验的内容采用 R 表示） 、电容 C1 和 C2、电感 L 以及非线性负阻 Nr。它的运行状态可以用以下方程组来描述：-2-(1)221211)(UdtILIGCgdtL其中 U1 为 C1（或负阻 Nr）两端的电压，U 2 为 C2（或 L）两端的电压，I L 为通过 L 的电流， Error! No bookmark name given.g(U)为非线性负阻的 I-V 特性函数，其表达式为：(2)|)|(|2)( EUGgab式中各参数和变量的具体意义间图 3。从 g(U)的表达式看出， g(U)分三段，且每段都是线性的，所以我们可以将求解分三个区间来进行。由于两侧区间基本对称，可以一并求解。图 1：蔡氏电路示意图U1、U 2、I L 构成一个三维的状态空间，称为相空间，相空间的状态点记为。混沌实验仪中一般演示 X 点的相轨迹在 U1-U2 平面的二维TX投影，可用双踪示波器的 X-Y 模式来观察，即常说的李萨如图形。在每个区间内，方程(1) 都可以改写成如下形式的线性方程：(3)0)(bAtt其中 X(t)、b 为三维矢量，A 为三阶矩阵。方程(3)在 时的解即为相空间0)(tX的不动点 XQ， 。原方程组的解即可写为线性齐次方程b1的通解与不动点特解 XQ 的和。方程(3 )的本征值方程为|I-A |=0，若)(ttxA 存在三个本征值 1、 2、 3，齐次方程的解即为：-3-(4)321)( ecectxttt 其中 i 为 i 对应的本征向量，c i 由初始状态 X0 决定。在有些情况下，A 有一个实本征值 和一对共轭的复本征值 i，方程的解可以写成：(5)sin()cos(2)( icrctctrrctett xx式中 是实本征值对应的本征向量， rii 是共轭的复本征值对应的本征向量。c、 cr、c c 由初始状态决定。综上所述，蔡氏电路方程组的解为：(6)()(ttcrxXQ我们把实本征向量 方向标记为 Er，把 r 和 i 张成的平面记为 Ec。齐次方程解的独立分量 xr(t)在 Er 方向，x c(t)在平面 Ec 内。方程的解随着时间演化具有如下性质：如果 0，x r(t)沿着 Er 方向指数增长。由此可见，对于任何一条相轨迹 X(t)，Er 方向上的分量恒正或恒负，所以它始终都无法穿越 Ec 平面（图 Error! Bookmark not defined.、Error! Bookmark not defined.） 。如果 0 且 0，则 xc(t)在 Ec 平面内螺旋离开不动点 XQ；若 0，x c(t)在 Ec 平面内螺旋收缩到不动点 XQ。这些性质在进行每个区域分析时都非常有用。非线性负阻的结构 9如图 2 所示，由两个封装在一起的运算放大器（双运算放大器集成电路 FL353N）和 6 个定值电阻（R 1=3.3k、R 2=R3=22k、R 4=2.2k、R 5=R6=220，精度 1%）构成，输入电源电压15V。理想的非线性负阻具有如图 3 所示的 I-V 特性，被E 拆分为上中下三个区域，在各个区域都是线性函数，分段函数的斜率依次为 Gb、G a、G b，且满足 GaGb0。由运算放大器电路的参数可计算 12出 Ga=-1/R1-1/R4=(-7.60.1)10-4-1，G b=1/R3-1/R4=(-4.09 0.06)10-4-1。-4-图 2：非线性负阻的内部结构图 3：理想非线性负阻 I-V 特性（示意图）实验内容1、各种混沌现象的观测用图 1 所示的方法，调节可调电阻 R，观察单周期、双周期、阵发混沌、三周期、单吸引子、双吸引子等相图，并记录各种相图对应的 U1,U2 的信号特点。2、测量非线性负阻的 I-特性1、用如图 4 所示的方法，用示波器驱动，分别在 30Hz，300Hz 和 3.3kHz等频率测量非线性负阻的 I-V 特性，讨论不同频率时 I-V 曲线的特点。-5-图 4：外部信号扫描测量 I-V 特性电路图2、用图 5 所示的方法：在电路中接入一个 r=100 的采样电阻，非线性负阻两端的电压 U1 仍在 CH1 端测量，用 CH2 端输出的 r 两端的电压代替电流信号来记录 I-V 曲线，实验时利用蔡氏电路自身的振荡信号代替信号发生器的输入。CH1 和 CH2 的信号输入另一双踪示波器观察非线性电路的二位相图，记录电路出现各种混沌状态时的 I-V 曲线。3、比较上述两种方法得到的 I-V 曲线的异同，并讨论原因。4、分析第二种方法得到的结果，并解释相图和 I-V 曲线之间的关联。图 5：内置信号扫描测量 I-V 特性电路图5、 （选做）用伏安法测量非线性负阻的 I-V 曲线，分析得到的结果。三、 （选做）元件参数测量和非线性方程的求解1、用万用表测量电路中的电容、电感的值。 （有兴趣的同学可查阅万用表测电容、电感的原理。 ）2、用函数信号发生器作电源，用伏安法测量电容、电感的值，讨论电流、频率不同时，测量结果的变化。注意：实际有铁芯电感的等效模型为一个理想电感和一个损耗电阻的组合。-6-3、用高精度的 LCR 表测量各个元件的参数。4、用实际测得的实验参数求解非线性方程组（1） ，找出不同条件下的不动点，分析不动点的稳定性和解的特点。四、 （选做）C 调制设计实验方法，实现用电容 C 的调节了得到各种混沌相图，并讨论 G 调制和 C 调制得到的相图的不同。5、 （选做）数值模拟1、采用四阶 Runge-Kutta 法求解方程组（1） ，画出各种相图。2、用 FFT 法分析各种相图时时域型号的频率特性。3、绘制 U1 随 R 变化的分岔图，得出单周期、双周期等混沌状态时的 R 值，和实验观察的结果进行比较。6、 （探索）混沌保密通讯阅读文献，了解混沌通讯的原理和实现方法，从实验上实现两台混沌实验仪的信号同步，并完成混沌保密通讯的原理演示实验。7、 （探索）分形用计算机编程得到各种分形图形。思考题1、非线性系统的动力学行为的特点有哪些？2、一个自治的非线性系统至少包含哪些元件？各起什么作用？3、将非线性负阻直接接到一个电阻两端，随着外接电阻阻值的改变，电阻上的电压和电流之间会有什么关系？有兴趣的同学可以进行实验测量，并解释得到的结果。4、怎样求解非线性方程组？什么是 Runge-Kutta 法？5、G 调制和 C 调制有什么不同？参考文献1 James Gleick, 张淑誉, 郝柏林. 混沌开创新科学M. 北京: 高等教育出版社, 2004 年.2 L. O. Chua. Nonlinear CircuitsJ. IEEE Transactions on Circuits and Systems. CAS-31(1),1984: 69-87.3 P. R. Hobson, A. N. Lansbury. A simple electronic circuit to demonstrate bifurcation and chaosJ. Physics Education, 31, 1993: 39-43.4 G. Q. Zhong and F. Ayrom. Experimental confirmation of chaos from chuas circuitJ. International Journal of Circuit Theory and Applications, 13(1), 1985: 93-98.5 J. H. Lu, G. R. Chen. Generating Multiscroll Chaotic Attractors: Theories, Methods And ApplicationsJ. -7-International Journal of Bifurcation and Chaos, 16(4), 2006: 775-858.6 G. R. Chen, T Ueta. Yet Another Chaotic AttractorsJ. International Journal of Bifurcation and Chaos, 9(7), 1999: 1465-1466.7 M. P. Kennedy. On the Relationship between the Chaotic Colpitts Oscillator and Chuas OscillatorJ. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 42(6), 1995: 376-379.8 冯朝文, 蔡理, 康强. 基于单电子器件的混沌电路研究 J. ACTA PHYSICA SINICA 物理学报, 57(10), 2008: 6155-6161.9 王珂, 田真, 陆申龙. 非线性电路混沌现象实验装置的研究J. 实验室研究与探索, 4, 1999: 43-45. 10 许巍，熊永红，李定国等. 基于 LabVIEW 数据采集系统的混沌电路实验 J. 物理实验, 29(2),2009: 20-2211 刘兴云, 鲁池梅, 程永山. 基于虚拟仪器三维多涡卷混沌电路的研究J. 大学物理, 27(6), 2008: 38-4112 M. P. Kennedy. Three steps to chaos part : A chuas circuit primerJ. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 40(10), 1993: 657-674.实验资料1、复旦天欣科教仪器有限公司：NCE-2 型非线性电路混沌实验仪产品说明书。2000.22、上海新建仪器设备有限公司：XJ4400 系列数字存储示波器课外阅读：非线性科学概要为非线性物理概论一书写的序言汪 秉 宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。当深入到微观尺度（10 -8c