2 0 1 3 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名2本试卷共有23道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1不等式的解为 2在等差数列中，若，则 3设，是纯虚数，其中是虚数单位，则 4已知，则 5已知的内角所对的边分别是若，则角的大小是 6某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的在一次考试中，男、女生平均分数分别为、，则这次考试该年级学生平均分数为 7设常数若的二项展开式中项的系数为，则 8方程的实数解为 9若，则 10已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图若直线与所成角的大小为，则 11盒子中装有编号为的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）12设是椭圆的长轴，点C在上，且若，则的两个焦点之间的距离为 13设常数若对一切正实数成立，则的取值范围为 14已知正方形的边长为1记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若，且，则的最小值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15函数的反函数为，则的值是（ ）(A) (B) (C) (D) 16设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）(A) (B) (C) (D) 17钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件18记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（ ）(A) 0 (B) (C) 2 (D) 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（本题满分12分）如图，正三棱锥的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每一小时可获得的利润是元（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数，其中常数（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像对任意，求在区间上零点个数的所有可能值22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分已知函数，无穷数列满足，（1）若，求；（2）若，且成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分如图，已知双曲线，曲线是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；（3）求证：圆内的点都不是“型点”上海 数学试卷（文史类） 参考答案一、填空题（第1题至第14题）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.二、选择题（第15题至第18题）15. 16. 17. 18. 三、解答题（第19题至第23题）19解由已知条件可知，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，经计算得底面的面积为所以三棱锥的体积为设是正三角形的中心由正三棱锥的性质可知，垂直于平面延长交于，得，又因为，所以正三棱锥的斜高故侧面积为所以该三棱锥的表面积为，因此，所求三棱锥的体积为，表面积为20解（1）生产千克该产品，所用的时间是小时，所获得的利润为所以，生产千克该产品所获得的利润为元（2）生产900千克该产品，获得的利润为，记，则当且仅当时取到最大值获得最大利润为元因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元21解（1），所以，既不是奇函数，也不是偶函数（2），若的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到的图像，所以令，得或 因为恰含10个周期，所以，当是零点时，在上的零点个数为21；当不是零点时， 也都不是零点，区间上恰有两个零点，故在上有20个零点综上，在上零点的所有可能值为21或2022解（1），（2）， 当时，所以，得 当时，所以，得（舍去）或综合得或（3）假设这样的等差数列存在，那么，由得（）以下分情况讨论： 当时，由（）得，与矛盾； 当时，由（）得，从而 ，所以是一个等差数列； 当时，则公差，因此存在使得此时，矛盾综合可知，当且仅当时，构成等差数列23 解（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中（2）因为直线与有公共点，所以方程组有实数解，因此得若原点是“”型点，则存在过原点的直线与都有公共点考虑过原点与有公共点的直线或显然直线与无公共点如果直线为，则由方程组，得矛盾所以直线与也无公共点因此原点不是“型点”（3）记圆，取圆内的一点设有经过的直线与都有公共点显然不垂直于轴，故可设若，由于圆夹在两组平行线与之间，因此圆也夹在直线与之间，从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以因为与有公共点，所以方程组有实数解，得因为，所以，因此，即因为圆的圆心到直线的距离，所以，从而，得，与矛盾因此，圆内的点都不是“型点”- 8 -