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数学压轴题集1. 已知函数,设(1)求的单调区间;(2)若以)图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值;(3)若对所有的都有成立,求实数的取值范围.解:(1).2分因为由,所以在上单调递增;由,所以在上单调递减. 5分(2)恒成立,7分即当时取得最大值。所以,所以.10分(3)因为,所以,令,则.12分因为当时,所以,所以,所以,所以 .16分2.已知数列中, 为实常数),前项和恒为正值,且当时,.(1)求证:数列是等比数列;(2)设与的等差中项为,比较与的大小;(3)设是给定的正整数,.现按如下方法构造项数为有穷数列:当时,;当时,.求数列的前项和为.解:(1)当时, ,化简得,又由,得,解得,,也满足,而恒为正值,数列是等比数列. 分(2)的首项为1,公比为,.当时,.当时,此时.6分当时, .恒为正值 且,若,则,若,则.综上可得,当时, ;当时,若,则,若,则. 分(3) ,当时, .若,则由题设得.分若,则.综上得. 分3.A是定义在上且满足如下两个条件的函数组成的集合:对任意的,都有;存在常数L,使得对任意的,都有(1)设,证明:;(2)设,如果存在,使得,那么,这样的是唯一的;(3)设,任取令证明:给定正整数,对任意的正整数,不等式成立.证明:(1)对任意于是,2分又,所以。对任意由于,所以,4分令,则,所以.7分(2)反证法:设存在,使得,则由,得,所以,与题设矛盾,故结论成立. 10分(3)所以进一步可得,于是 .16分4已知函数().(I)若的定义域和值域均是,求实数的值;(II)若在区间上是减函数,且对任意的,总有,求实数的取值范围.解:()(),在上是减函数,又定义域和值域均为, , 即, 解得 .(II) 在区间上是减函数,又,且,.对任意的,总有,.5已知二次函数(1)若,试判断函数零点个数;(2)若对且,试证明,使成立;(3)是否存在,使同时满足以下条件对,且;对,都有若存在,求出的值,若不存在,请说明理由解:(1) 当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点。4分在内必有一个实根。即,使成立。10分(3)假设存在,由知抛物线的对称轴为x1,且 由知对,都有令得13分由得, 15分当时,其顶点为(1,0)满足条件,又对,都有,满足条件。存在,使同时满足条件、。16分6已知数列中,点在直线上()计算的值;()令,求证:数列是等比数列;()设分别为数列的前n项和,是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,试求出的值;若不存在,请说明理由解:()由题意, 2分 同理 3分 ()因为 所以 5分 7分又,所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 9分()由(2)得, 又 所以 13分 由题意,记 则 15分故当 16分7设函数(其中常数0,且1)()当时,解关于的方程(其中常数);()若函数在上的最小值是一个与无关的常数,求实数的取值范围解 ()f(x) 当x0时,f(x)3因为m2则当2m3时,方程f(x)m无解;当m3,由10x,得xlg 1分 当x0时,10x1由f(x)m得10xm,(10x)2m10x20因为m2,判别式m280,解得10x 3分因为m2,所以1所以由10x,解得xlg令1,得m3 4分所以当m3时,1,当2m3时,1,解得xlg 5分综上,当m3时,方程f(x)m有两解xlg 和xlg ; 当2m3时,方程f(x)m有两解xlg 6分(2) ()若0a1,当x0时,0f(x)3;当0x2时,f(x)ax 7分令tax,则ta2,1,g(t)t在a2,1上单调递减,所以当t1,即x0时f(x)取得最小值为3当ta2时,f(x)取得最大值为此时f(x)在(,2上的值域是(0,没有最小值 9分()若a1,当x0时,f(x)3;当0x2时f(x)ax令tax,g(t)t,则t1,a2 若a2,g(t)t在1,a2上单调递减,所以当ta2即x2时f(x)取最小值a2,最小值与a有关; 11分 a2,g(t)t在1,上单调递减,在,a2上单调递增,13分所以当t即xloga时f(x)取最小值2,最小值与a无关 15分综上所述,当a时,f(x)在(,2上的最小值与a无关 16分9设,函数,(1)设不等式的解集为C,当时,求实数取值范围;(2)若对任意,都有成立,试求时,的值域;(3)设 ,求的最小值解:(1),因为,二次函数图像开口向上,且恒成立,故图像始终与轴有两个交点,由题意,要使这两个交点横坐标,当且仅当:,解得: (2)对任意都有,所以图像关于直线对称,所以,得所以为上减函数;故时,值域为 (3)令,则(i)当时,当,则函数在上单调递减,从而函数在上的最小值为若,则函数在上的最小值为,且(ii)当时,函数若,则函数在上的最小值为,且若,则函数在上单调递增,从而函数在上的最小值为综上,当时,函数的最小值为当时,函数的最小值为当时,函数的最小值为10对于区间上有意义的两个函数与,如果对任意均有,则称与在上是接近的;否则,称与在上是非接近的现有两个函数与且,与在给定区间上都有意义,(1)求的取值范围;(2)问与在给定区间上是否为接近的?请说明理由解:(1)要使与有意义,则有要使与在给定区间上都有意义,等价于:所以(2)与在给定区间上是接近的,对于任意恒成立设,且其对称轴在区间的左边,所以,当时,与在给定区间上是接近的;当时,与在给定区间上是非接近的11.已知a0,函数f(x)=axbx2.(I)当b0时,若对任意xR都有f(x)1,证明a2;(II)当b1时,证明:对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b1a2;(III)当00,b0,a2.4分(2)证明:必要性:对任意x0,1,|f(x)|1f(x)1.据此可推出f(1)1,即ab1,ab1. 6分对任意x0,1,|f(x)|1f(x)1,因为b1,可得01,ab1,对任意x0,1,可以推出axbx2b(xx2)xx1,即axbx21,因为b1,a2,.10分对任意x0,1,可以推出:axbx22xbx2b(x)2+11,即axbx21,1f(x)1. 12分综上,当b1时,对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b1a2.(3)解:因为a0,00,0b1时,对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是ab+1. 16分12.已知,其中是自然常数,(1)讨论时, 的单调性、极值;(2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:(1), 当时,此时单调递减当时,此时单调递增 的极小值为(2)的极小值为1,即在上的最小值为1, ,令, 当时,在上单调递增 在(1)的条件下,(3)假设存在实数,使()有最小值3, 当时,在上单调递减,(舍去),所以,此时无最小值. 当时,在上单调递减,在上单调递增,满足条件. 当时,在上单调递减,(舍去),所以,此时无最小值.综上,存在实数,使得当时有最小值3 13.已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(3)求证:解:(1)当时,的单调增区间为(0,1),减区间为;当时,的单调增区间为,减区间为(0,1);当时无单调区间(2)得,在区间上总不是单调函数,(3)令此时,所以,由(1)知在上单调递增,当时,即,对一切成立,则有,14. 设函数f(x) (其中常数a0,且a1)(1)当a10时,解关于x的方程f(x)m(其中常数m2);(2)若函数f(x)在(,2上的最小值是一个与a无关的常数,求实数a的取值范围解: (1)f(x) 2分 当x0时,f(x)3因为m2则当2m3时,方程f(x)m无解;当m3,由10x,得xlg 4分 当x0时,10x1由f(x)m得10xm,(10x)2m10x20因为m2,判别式m280,解得10x因为m2,所以1所以由10x,解得xlg令1,得m3所以当m
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