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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 广东省华南师范大学附中2013届高三上学期第四次月考数学理试题一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是偶函数的是( )A. ; B. ; C. ; D. 2. 双曲线的实轴长是( )A. 2; B. ; C. 4; D. 3. 定义:,其中为向量与的夹角,若,则( )A. ; B. 8; C. 或8; D. 6 4. 设,则的值为( )A. ; B. ; C. ; D.5. 已知函数,则在上的零点个数为( )A. 1; B. 2; C. 3; D. 46. 圆心在曲线上,且与直线相切的面积最小的圆的方程为( ) A. ; B. ; C. ; D. 7. 将函数的图像向右平移个单位,再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍,所得图像关于直线对称,则的最小正值为( )A. ; B. ; C. ; D. 8. 2010年,我国南方省市遭遇旱涝灾害,为防洪抗旱,某地区大面积植树造林,如图,在区域内植树,第一棵树在点,第二棵树在点,第三棵树在点,第四棵树在点,接着按图中箭头方向,每隔一个单位种一颗树,那么,第2011棵树所在的点的坐标是( ) A. ; B. ; C.; D. 二、填空题(本大题6小题,每小题5分,满分30分)9. 若变量满足条件,则的最小值为 10. 已知直线与圆相交于两点,且,则 11. 由直线,与曲线所围成的封闭图像的面积为 12. 给出下列不等式 ; ; ; 其中一定成立的是 13. 过抛物线的焦点,且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点,若线段的长为8,则的值为 14. 如图,在中,是边上的点,且,则的值为 三、解答题(本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)15. (本小题满分13分) 已知函数,(1)求函数的最大值和最小正周期(2)设的内角的对边分别是,且,若,求的值16. (本小题满分12分)某沙漠地区经过人们的改造,到2010年底,已知将1万亩沙漠面积的30%转变成了绿洲,计划从2011年起,每年将剩余沙漠面积的16%改造成绿洲,同时上一年绿洲面积的4%又被浸蚀变成沙漠,从2011年开始:(1)经过年后该地区的绿洲面积为多少万亩?(2)经过至少多少年的努力,才能使该地区沙漠绿化率超过60%?(已知)17. (本小题满分13分)解关于的不等式18. (本小题满分13分)设是函数的两个极值点,(1)若,求证:(2)如果,求的取值范围19. (本小题满分14分)已知椭圆的方程为,其焦点在轴上,离心率,(1)求该椭圆的标准方程(2)设动点满足,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,求证:为定值(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,给出证明,若不存在,请说明理由。20. (本小题满分14分)已知数列满足,数列满足,数列满足(1)求数列的通项公式(2)试比较与的大小,并说明理由。(3)我们知道,数列如果是等差数列,则公差是一个常数,显然在本题的数列中,不是一个常数,但是否会小于等于一个常数呢?若会,求出的取值范围,若不会,请说明理由。华南师范大学附中2013年上学期第四次月考试卷答案:一、选择题 18. CCBA BABA二、填空题9. ;10. ;11. ; 12. 正确;13. 4; 14. ;三、解答题 15. (1),的最大值为0;最小正周期为(2),解得; 又,由正弦定理-,由余弦定理,即-由解得:,。 16. (1)设经过年绿洲面积为万亩,由题意得 ,而数列满足,即,所以,(2)解不等式,可得,所以17. 当时,原不等式化为; 当时,原不等式化为-,解得:,当,即时,不等式的解为,当时,即时,不等式的解为或;当时,即时,不等式的解为或;当时,不等式的解为;综上可得:当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为或;18. (1)由已知得:,是方程的两根, 且,所以,即,而 (2)由韦达定理,所以,即,当时,由,得,这时,由,得所以是关于的增函数,故;当时,由得,这时,由,得,所以也是关于的增函数,故;综上可得:的取值范围是。19. (1)由,所以椭圆方程为。(2)设,则由得,因为在椭圆上,所以,又因为,即,故=20,即(定值)(3)由(2)知,点是椭圆上的点,则由定义,必存在两个焦点,满足为定值。20. (1);(2),令,所以当时,为增函数, A、 为减函数,对一切正整数及恒成立,所以存在满足要求,故的取值范围是。第 7 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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