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第二章,函 数,2.3 函数的应用(),学习目标 1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题. 2.初步掌握数学建模的方法. 3.通过数学建模的应用,培养应用意识.,1,预习导学 挑战自我,点点落实,2,课堂讲义 重点难点,个个击破,3,当堂检测 当堂训练,体验成功,预习导引 常见函数模型,要点一 一次函数模型 例1 大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果上升到12 km为止,温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12 km以上温度一定,保持在55 . (1)当地球表面大气的温度是a 时,在x km的上空为y ,求0x12时,a,x,y间的函数关系式; 解 由题意知yakx(0x12,k0), 即yakx.,当x12时,y55,55a12k,,(2)当地球表面大气的温度是29 时,3 km上空的温度是多少?,即当地球表面大气的温度是29 时,3 km上空的温度是8 .,跟踪演练1 如图所示,这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:,(1)通话2分钟,需要付电话费_元; 解析 由图象可知,当t3时,电话费都是3.6元. (2)通话5分钟,需要付电话费_元; 解析 由图象可知,当t5时,y6,需付电话费6元.,3.6,6,(3)如果t3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_. 解析 当t3时,y关于x的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数关系式为yktb,,故y关于t的函数关系式为y1.2t(t3).,y1.2t(t3),要点二 二次函数模型 例2 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:,(1)若提供的广告费用共为5万元,求最优广告策略;(即收益最大的策略,其中收益销售收入广告费用),解 广告费共5万元,设报纸广告费用x万元,则电视广告费用5x万元,利润为w万元. R2x2(5x)213x11(5x)28(0x5) 3x212x2(0x5). 当x2万元时,Rmax14万元, 此时电视广告费用为3万元. w1459(万元). 即报纸广告费2万元,电视广告费3万元.,(2)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略(其中x1,x2N). 解 广告费用不限, R(x)f(x)g(x)28,,x1,x2N, f(x)maxf(3)21, g(x)maxf(5)f(6)30.,欲使最大,所以g(x)取最大值时x25, 此时213028815. 即报纸广告费用为3万元,电视广告费用为5万元时为最优广告策略. 规律方法 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位,因为根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、最小等问题.,跟踪演练2 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系式y0.1x22.6x43 (0x30),y值越大,表示接受能力越强. (1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低? 解 y0.1x22.6x43 0.1(x13)259.9. 所以,当0x13时,学生的接受能力逐步增强; 当13x30时,学生的接受能力逐步下降.,(2)第10分钟时,学生的接受能力是多少? 解 当x10时,y0.1(1013)259.959. 即第10分钟时,学生的接受能力为59. (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 解 当x13时,y取最大值. 所以,在第13分钟时,学生的接受力最强.,要点三 分段函数模型 例3 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元? (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本),当x550时,P51.,(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数Pf(x)的表达式; 解 当0x100时,P60;,(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1 000个,利润又是多少元? 解 设销售商一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,,当x500时,L6 000;当x1 000时,L11 000. 因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6 000元;如果订购1 000个,利润是11 000元.,规律方法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.,(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;,解 当0x5时,产品全部售出,当x5时,产品只能售出500件.,(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?,当x4.75(百件)时,f(x)有最大值, f(x)max10.781 25(万元). 当x5时,f(x)max120.25510.75(万元). 当这种产品的年产量为475件时,利润最大.,1,2,3,4,5,1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( ) A.一次函数 B.二次函数 C.分段函数 D.无法确定 解析 由图象知,在不同时段内,路程折线不同,故函数模型为分段函数.,C,1,2,3,4,5,2.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x36 kPa时,y108 g/m3,则y与x的函数关系式为( ),解析 由题意设ykx(k0),将(36,108)代入解析式可得k3,故y3x,考虑到含氧量不可能为负,可知x0.,A,1,2,3,4,5,3.化工厂在一月份生产某种产品200 t,三月份生产y t,则y与月平均增长率x之间的关系是( ) A.y200x B.y200x2 C.y200(1x) D.y200(1x)2 解析 一月份为200 t,二月份为200x200200(x1)t,三月份为200(x1)x200(x1)200(x1)(x1)200(x1)2t,即y200(x1)2.,D,4.用长度为24 m的材料围成一矩形场地,并且 中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ) A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m,S矩形x(122x)2x212x2(x3)218. 当x3 m时,矩形的面积最大.,A,1,2,3,4,5,x,5.一个水池有60 m3水,现要将水池中的水排出, 如果排水管每小时排出的水量为3 m3,则水池中余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为_. 解析 排水管每小时排出的水量为3 m3, t小时排出的水量为3t m3(t0). 水池中原有水60 m3, 3t60,t20, 水池中余水量Q603t(0t20).,Q603t(0t20),5,1,2,3,4,课堂小结 1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图形的直观性. 2.数学建模的过程图示如下:,
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