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第三章,基本初等函数(),3.3 幂函数,学习目标 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数yx,yx2,yx3,y ,y 的图象,掌握它们的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.,1,预习导学 挑战自我,点点落实,2,课堂讲义 重点难点,个个击破,3,当堂检测 当堂训练,体验成功,知识链接,R,增,奇,0,),(,0),0,),偶,x|x0,减,减,奇,预习导引 1.幂函数的概念 函数yx叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.,2.幂函数的图象与性质,0,),(,0) (0,),0,),0,),y|yR,且 y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,增,减,增,增,减,减,(1,1),解 根据幂函数定义得, m2m11,解得m2或m1,,当m2时,f(x)x3在(0,)上是增函数, 当m1时,f(x)x3,在(0,)上是减函数,不合要求. f(x)的解析式为f(x)x3.,规律方法 1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系,导致解题受阻. 2.幂函数yx(R)中,为常数,系数为1,底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异,解题时一定要分清,以防出错.,跟踪演练1 已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3),则f(100)_. 解析 由题意可知f(9)3,即93,,10,解析 考虑幂函数在第一象限内的增减性. 注意当n0时,对于yxn,n越大,yxn增幅越快, n0时看|n|的大小.,当n0时,|n|越大,曲线越陡峭,,答案 B,规律方法 幂函数图象的特征:(1)在第一象限内,直线x1的右侧,yx的图象由上到下,指数由大变小;在第一象限内,直线x1的左侧,yx的图象由上到下,指数由小变大.(2)当0时,幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点,在第一象限内,当01时,曲线上凸;当1时,曲线下凸;当0时,幂函数的图象都经过(1,1)点,在第一象限内,曲线下凸.,跟踪演练2 如图是幂函数yxm与yxn在第一 象限内的图象,则( ) A.1n0m1 B.n1,0m1 C.1n0,m1 D.n1,m1 解析 在(0,1)内取同一值x0,作直线xx0, 与各图象有交点,如图所示. 根据点低指数大,有0m1,n1.,B,要点三 比较幂的大小 例3 比较下列各组数中两个数的大小:,解 由幂函数的单调性,知0.20.60.30.6,,又y0.3x是减函数,,0.30.40.30.6,从而0.20.60.30.4.,规律方法 1.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;(2)若指数不同而底数相同,则构造指数函数. 2.若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数或底数化为相同,是否可以引入中间量.,跟踪演练3 比较下列各组数的大小:,解 yx0.5在0,)上是增函数,(2)3.143与3; 解 yx3是R上的增函数,且3.14, 3.1433,3.1433.,1,2,3,4,5,1.下列函数是幂函数的是( ) A.y5x B.yx5 C.y5x D.y(x1)3 解析 函数y5x是指数函数,不是幂函数; 函数y5x是正比例函数,不是幂函数; 函数y(x1)3的底数不是自变量x,不是幂函数; 函数yx5是幂函数.,B,1,2,3,4,5,故定义域与值域不同.,D,1,2,3,4,5,3.设 则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为( ) A.1,3 B.1,1 C.1,3 D.1,1,3 解析 可知当1,1,3时,yx为奇函数, 又yx的定义域为R,则1,3.,A,1,2,3,4,5,而c(2)3230, abc.,abc,5,1,2,3,4,解析 由于f(x)为幂函数,所以n22n21, 解得n1或n3,经检验只有n1适合题意.,1,课堂小结 1.幂函数yx的底数是自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线x1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.,3.简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0,)上都有定义,并且当自变量为1时,函数值为1,即f(1)1. (2)如果0,幂函数在0,)上有意义,且是增函数. (3)如果0,幂函数在x0处无意义,在(0,)上是减函数.,
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