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第二章,函 数,1,知识网络 系统盘点,提炼主干,2,要点归纳 整合要点,诠释疑点,3,题型研修 突破重点,提升能力,章末复习提升,1.函数的概念与映射 函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足:集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.,2.函数表示法 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.解析法:必须注明函数的定义域.图象法:描点法作图时要确定函数定义域,化简函数的解析式,观察函数特征.列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 分段函数:由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同,故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中,体现知识的重组.,3.函数性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势. 4.函数最大(小)值 求函数最值问题,常利用二次函数的性质(配方法);利用图象;或利用函数单调性,如果函数f(x)在区间a,b上单调递增,在b,c上单调递减,则函数yf(x)在xb处有最大值f(b),最小值为f(a)与f(c)中的较小者.,5.函数的零点与方程根的关系及运用 函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根,也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点. 推而广之,方程f(x)a的实数根函数yf(x)的图象与直线ya交点的横坐标.方程f(x)g(x)的实数根函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标.,题型一 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函数的图象及其变化趋势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征,做题时应注重上述性质知识间的融合.,(1)求实数m和n的值; 解 f(x)是奇函数, f(x)f(x),,比较得nn,n0.,因此,实数m和n的值分别是2和0. (2)求函数f(x)在区间2,1上的最值;,任取x1,x22,1,且x1x2,,2x1x21时, x1x20,x1x20,x1x210, f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2). 函数f(x)在2,1上为增函数,,A.(,1) B.(,0)(0,1 C.(,0)(0,1) D.1,),即x1且x0.,B,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时,f(x) x(1x),则当1x0时,f(x)_. 解析 由于当0x1时解析式已知,且已知f(x1)2f(x), 可设1x0,则0x11,整体代入求解. 所以f(x1)(x1)1(x1)x(x1). 又因为f(x1)2f(x),,题型二 函数图象及其应用 函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握函数的性质,有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中,利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.,例2 对于函数f(x)x22|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; 解 函数的定义域为R,关于原点对称, f(x)(x)22|x|x22|x|. 则f(x)f(x),f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. (2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值.,画出图象如图所示, 根据图象知,函数f(x)的最小值是1. 单调增区间是(1,0,1,); 减区间是(,1,(0,1).,如图,分别画出三个函数的图象,得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).,从图象观察可得函数f(x)的表达式:,f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2. 答案 2,题型三 二次函数的有关问题 二次函数是函数中的基础内容,它虽简单却具有丰富的内含和外延,可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题,是重要的函数模型. 例3 已知g(x)x23,f(x)是二次函数,当x1,2时,f(x)的最小值是1,且g(x)f(x)是奇函数,求f(x)的表达式. 解 设f(x)ax2bxc(a0), 则g(x)f(x)(a1)x2bxc3为奇函数, 故有(a1)x2bxc3(a1)x2bxc3, (a1)x2bxc3(a1)x2bx(c3).,f(x)在区间1,2上的最小值为1, 需分下列3种情况讨论:,f(2)72b1,b3,舍去.,f(1)4b1,b3. f(x)x23x3.,(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间;,f(x)的顶点坐标为(1,1), 单调递减区间是(,1, 单调递增区间是1,).,(2)是否存在实数a,当a1时,f(x)的定义域和值域都是1,a,若存在,求出a,若不存在,说明理由. 解 假设存在实数a满足条件.,a1或a3.又a1,a3. 存在实数a3,使f(x)的定义域和值域均为1,a.,题型四 函数与方程的思想 函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化,多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题,函数性质的应用,求参数的范围都应用了函数与方程思想.,例4 已知函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数,求实数a的取值范围. 解 函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数等价于方程x2xa0至少有一个非负实根,可以考虑问题的反面,方程无非负实数根,即方程有两个负实根或无实数根的情况.,方程x2xa0不可能有两个负实根, 当方程x2xa0无实根时,14a0,,跟踪演练4 设aR,当a取何值时,不等式x22xa1在区间2,5上恒成立? 解 x22xa1a1x22x. 令f(x)x22x(x1)21,x2,5, 则f(x)minf(2)448. a18.a7. 当a7时,x22xa1在2,5上恒成立.,课堂小结 1.函数单调性的判定方法 (1)定义法.,(3)图象法:根据函数的图象判断函数的单调性.,2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间m,n上的最值问题,有以下结论: (1)若hm,n,则yminf(h)k, ymaxmaxf(m),f(n); (2)若hm,n,则yminminf(m),f(n), ymaxmaxf(m),f(n)(a0时可仿此讨论).,3.函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的,这一点与研究函数的单调性不同,从这个意义上说,函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对函数定义域内的每一个x值,都有f(x)f(x)(或f(x)f(x),才能说f(x)是奇函数(或偶函数). 4.对于零点性质要注意函数与方程的结合,借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根;对于连续函数,利用根的存在性,可用来求参数的取值范围.,
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