第二章,函 数,2.1 函 数 2.1.1 函 数 第2课时 映射与函数,学习目标 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法. 2.了解象与原象的概念. 3.了解映射与函数的区别与联系.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的 ，按照确定的法则f，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作yf(x)，xA.,唯一确定的数y,任意数x,预习导引 1.映射和一一映射的有关概念,f(A),任意一个,有且仅有一个,象,f(x),原象,A,所有象f(x),2.映射与函数的关系 映射是函数概念的 ，函数是一种 .,一一映射,特殊的映射,任意一个元素,有且只有一个原象,一一对应,推广,要点一 映射的判断 例1 下列对应是不是从A到B的映射，能否构成函数？,解 当x1时，y的值不存在， 不是映射，更不是函数.,(2)Aa|an，nN；,解 是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素. (3)A0，)，BR，f：xy2x； 解 当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数.,(4)Ax|x是平面M内的矩形， Bx|x是平面M内的圆，f：作矩形的外接圆. 解 是映射，但不是函数，因为A，B不是非空数集. 规律方法 按照映射定义可知，映射应满足存在性集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的对应元素.,跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数关系？ 解 在图(1)中，集合A中任一个数，通过“开平方”在B中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.,图(2)中，元素6在B中没有象，则由A到B的对应关系不是映射，也不是函数关系. 图(3)中，集合A中任一个数，通过“2倍”的运算，在B中有且只有一个数与之对应，所以A到B的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系. 图(4)中，对A中的每一个数，通过平方运算在B中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A到B之间的对应关系是函数关系.,要点二 映射个数问题 例2 已知Aa，b，c，B2,0,2，映射f：AB满足f(a)f(b)f(c)，求满足条件的映射的个数. 解 (1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)f(b)000f(c)有1个映射； (2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)f(b)f(c)的映射有4个，分别为202,022，(2)02,0(2)2.,(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(2)20,2(2)0. 因此满足条件的映射共有7个. 规律方法 对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.,跟踪演练2 集合A1,2,3，B3,4，从A到B的映射f满足f(3)3，则这样的映射共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析 由于要求f(3)3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.,B,要点三 映射的象与原象 例3 已知映射f：AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y) (x2y2,4xy). (1)求A中元素(5,5)的象； 解 当x5，y5时，x2y217，4xy25. 故A中元素(5,5)的象是(17,25).,(2)求B中元素(5,5)的原象. 解 令B中元素(5,5)的原象为(x，y)，,故B中元素(5,5)的原象是(1,1). 规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则. 2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.,跟踪演练3 已知映射f：AB中，AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(3x2y1,4x3y1). (1)求A中元素(1,2)的象； 解 当x1，y2时，3x2y10,4x3y19. 故A中元素(1,2)的象为(0,9).,(2)求B中元素(1,2)的原象；,1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是( ) A.集合B中的某一个元素b的原象可能不止一个 B.集合A中的某一个元素a的象可能不止一个 C.集合A中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B中的两个不同元素的原象可能相同 解析 根据映射的概念可知：A中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A正确.,A,1,2,3,4,5,2.下列对应法则f为A到B的函数的是( ) A.AR，Bx|x0，f：xy|x| B.AZ，BN，f：xyx2 C.AZ，BZ，f：xy D.A1,1，B0，f：xy0 解析 在选项A、B、C中，集合A中的有些元素在对应法则作用下，在集合B中找不到象. 选项D表示无论x取何值y都等于0.所以选D.,D,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( ) 解析 按映射的定义判断知，D项符合.,D,4.设集合A、B都是坐标平面上的点集(x，y)|xR，yR，映射f：AB使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(xy，xy)，则在f下，象(2,1)的原象是( ),B,1,2,3,4,5,5,1,2,3,4,5.已知集合Aa，b，Bc，d，则从A到B的不同映射有_个. 解析 ac，bc；ad，bd；ac，bd；ad，bc，共4个.,4,课堂小结 1.映射的特征 (1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应，即A中元素不能有剩余. (2)唯一性：从集合A到集合B的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射. (3)方向性：f：AB与f：BA，一般是不同的映射.,2.映射与函数的关系 函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.,