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第一章,立体几何初步,学习目标 1.掌握平面与平面垂直的定义. 2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理. 3.理解线线垂直,线面垂直和面面垂直的内在联系.,第2课时 平面与平面垂直,1,预习导学 挑战自我,点点落实,2,课堂讲义 重点难点,个个击破,3,当堂检测 当堂训练,体验成功,知识链接 1.直线与平面垂直的判定定理 定理:如果一条直线与平面内的 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 推论1:如果在两条 中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面;,两条相交,平行直线,推论2:如果两条直线 ,那么这两条直线平行. 2.直线与平面垂直的性质 定义:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 一条直线垂直.,垂直于同一个平面,任意,预习导引 1.平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的 与第三个平面 ,又这两个平面与第三个平面 所得的两条交线互相 ,就称这两个平面互相垂直.,交线,垂直,相交,垂直,2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ,则两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面.,一条垂线,交线,要点一 平面与平面垂直判定定理的应用 例1 如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上异于A、B的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.,证明 连接AC,BC, 则BCAC,又PA平面ABC,,PABC,而PAACA, BC平面PAC, 又BC平面PBC, 平面PAC平面PBC.,规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.,跟踪演练1 如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上, 求证:平面AEC平面PDB. 证明 设ACBDO,连接OE,,ACBD,ACPD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线,,AC平面PDB. 又AC平面AEC, 平面AEC平面PDB.,要点二 面面垂直性质定理的应用 例2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 解 已知:,l. 求证:l. 方法一 在内取一点P,作PA垂直与 的交线于A,PB垂直与的交线于B,,则PA,PB. l, lPA,lPB. 又PAPBP,且PA,PB, l. 方法二 在内作直线m垂直于与的交线,在内作直线n垂直于与的交线,,, m,n. mn.又n, m. 又m,l, ml. l.,规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法,因此,在有面面垂直的条件下,若需要平面的垂线,要首先考虑面面垂直的性质.,跟踪演练2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,平面PAB平面PBC.求证:BCAB. 证明 在平面PAB内,作ADPB于D. 平面PAB平面PBC, 且平面PAB平面PBCPB.,AD平面PBC. 又BC平面PBC, ADBC. 又PA平面ABC,BC平面ABC, PABC,又PAADA,,BC平面PAB. 又AB平面PAB, BCAB.,要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且DAB60,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.,(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;,证明 在菱形ABCD中,G为AD的中点,DAB60, BGAD. 又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD,BG平面PAD.,(2)求证:ADPB. 证明 连接PG,如图, PAD为正三角形,G为AD的中点, PGAD. 由(1)知BGAD,PGBGG,,AD平面PGB, PB平面PGB, ADPB.,规律方法 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点;(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.,跟踪演练3 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD. 证明:PABD. 证明 如图,取BC的中点O, 连接PO、AO.,PBPC. POBC,又侧面PBC底面ABCD,平面PBC平面ABCDBC,PO平面PBC, PO底面ABCD.BD平面ABCD, POBD,在直角梯形ABCD中,,易证ABOBCD, BAOCBD, CBDABD90, BAOABD90 AOBD,,又POAOO, BD平面PAO,又PA平面PAO, BDPA.,1.若平面平面,平面平面,则( ) A. B. C.与相交但不垂直 D.以上都有可能 解析 以正方体为模型; 相邻两侧面都与底面垂直;,1,2,3,4,5,相对的两侧面都与底面垂直; 一侧面和一对角面都与底面垂直,故选D. 答案 D,1,2,3,4,5,2.已知l,则过l与垂直的平面( ) A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 解析 由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面,这样的平面有无数个.,1,2,3,4,5,C,1,2,3,4,5,3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作MEAB于E,则( ) A.ME平面AC B.ME 平面AC C.ME平面AC D.以上都有可能 解析 由于ME平面AB1,平面AB1平面ACAB, 且平面AB1平面AC,MEAB, 则ME平面AC.,A,4.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ),1,2,3,4,5,A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直,解析 PA平面ABCD, PABC. 又BCAB,PAABA, BC平面PAB, BC平面PBC, 平面PBC平面PAB.,1,2,3,4,5,由ADPA,ADAB,PAABA, 得AD平面PAB. AD平面PAD, 平面PAD平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直,故选A. 答案 A,1,2,3,4,5,5.下列四个命题中,正确的序号有_. ,则; ,则; ,则; ,则. 解析 不正确,当,时,可以平行、相交或垂直.,1,2,3,4,5,课堂小结,1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:,2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.,
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