研究生数值分析课程作业（二）姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的 Lagrange 插值多项式及 Newton 插值多项式。20122 2()()()()0(-0)159 34312Lxflxflxflxxx二 lagrne二 二Newton 插值多项式：xi (xi) 一阶均差 二阶均差012314-23 5/2200100120122(),(-),(-)559 3()332Nxffxfxxx()yfx、 已 知 单 调 连 续 函 数 在 如 下 采 样 点 处 的 函 数 值i2 3.5 4()iiyfx-3 2.25 5*()02,4,f x求 方 程 在 内 根 的 近 似 值 使 误 差 尽 可 能 小 。解： 1()yxfy解 ： 对 的 反 函 数 进 行 二 次 插 值i-3 2.25 51()iifyx2 3.5 4x0 1 2)(f3 1 41 1 102011220 20 1 2()()()() ).5(353.5.54(3)()(.)() yyyLf f f .94() (1)01 (1)1,(,),() ()!,n nnnnnnfxabfxabaxLfRfxxab3、 证 明 ： 设 在 上 连 续 ， 在 内 存 在 ， 节 点是 满 足 拉 格 朗 日 插 值 条 件 的 多 项 式 ， 则对 任 何 插 值 余 项这 里 （ ） 且 依 赖 于 。011010(,)()()0()(),()()()(),knnkn nn nRRxxKxxKxabtfLtttxxt 证 由 条 件 知 节 点 是 的 零 点 ， 即 。于 是其 中 是 与 有 关 的 待 定 函 数 。现 把 看 成 上 的 固 定 点 ， 作 函 数根 据 插 值 条 件 和 余 项 定 义 ， 知 在 点 及 处 均 为 零 。故 二 111,2(,1() )(,)(,) !(0()()(,)!nnn tabnttababfKxfKxab （ ）（ ） （ ）（ ）在 上 有 个 零 点 ， 根 据 罗 尔 定 理 ， 在 内 至 少有 个 零 点 。 对 再 应 用 罗 尔 定 理 ， 可 知 在 内 至 少有 个 零 点 。 依 次 类 推 ， 在 上 至 少 有 一 个 零 点 ， 记 为使于 是 ， 且 依 赖 于于 是 得 到 插 值 余 项 。 证 毕 。 44、 试 用 数 据 表 建 立 不 超 过 次 的 埃 尔 米 特 插 值 多 项 式 。x 0 1 2(x) 0 1 19(x) 0 1解 ： （ 用 重 节 点 的 均 差 表 建 立 埃 尔 米 特 多 项 式 ）xi (xi) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差00112001119011181017-117/2 19/4223 22223243243()0,(0),(),(0)19()1()(10)(1()997Hxfxfxfxxxxx