第九章 二次型9.1 习题1证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同2对下列每一矩阵 A，分别求一可逆矩阵 P，使 是对角形式：A(i) ;31A(ii) ;01(iii) .1142A3写出二次型 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等31|ijjix价的二次型，使后者只含变量的平方项4令 A 是数域 F 上一个 n 阶斜对称矩阵，即满足条件 A(i)A 必与如下形式的一个矩阵合同： 001001(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数(iii) F 上两个 n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩9.2 复数域和实数域上的二次型1设 S 是复数域上一个 n 阶对称矩阵证明，存在复数域上一个矩阵 A，使得AS2证明，任何一个 n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一： .12,1;2, vnOIvOIvv 若若3证明，任何一个 n 阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同： .22vnvvnv IIIOI或4证明，一个实二次型 可以分解成两个实系数 n 元一次齐),(1nxq次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者 q 的秩等于 1，或者 q 的秩等于 2并且符号差等于 05令 .90614,2354BA证明 A 与 B 在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵 P，使得 BA6确定实二次型 的秩和符号差nxx2143217确定实二次型 的秩和符号差cybzay8证明，实二次型 的秩和符号差与 无关nij jinxi1 )1()(9.3 正定二次型1判断下列实二次型是不是正定的:;)(i 3121232 40xxx)(i .48453231212321 xxx2 取什么值时,实二次型 2413212321)( x是正定的.3设 A 是一个实对称矩阵.如果以 A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵 A,总存在足够大的实数 ,使得 是正tAI定的.4证明, 阶实对称矩阵 是正定的,必要且只要对于任意n)(ija, 阶子式12iik .,21,02122121 nkaakkk kiii iii 5设 是一个 阶正定实对称矩阵.证明)(ijAnnA21det当且仅当 A 是对角形矩阵时,等号成立.提示:对 作数学归纳法,利用定理 9.3.2 的证明及习题 4.n6设 是任意 阶实矩阵.证明)(ijan(阿达马不等式).j njjj aaA1222 )(det 提示:当 时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题 5.0t9.4主轴问题1对于下列每一矩阵 A,求一个正交矩阵 U,使得 具有对角形式:AU;)(iabA;)(i21A)(i 2052设 A 是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵 S 使得2SA3设 A 是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵 S 和一个正交n矩阵 U,使得 US提示: 是正定对称矩阵.于是由习题 2 存在正定矩阵 S,使得 = .再 A2看一下 U 应该怎样取4设 是一组两两可交换的 阶实对称矩阵.证明,存在一个 阶正交矩iAnn阵 U,使得 都是对角形矩阵.i提示:对 作数学归纳法,并且参考 7.6,习题 9.n