刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 1 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分） 数学 一、填空题（每小题 3 分，满分 15 分） （1）与两直线 1 1 2 x yt zt 及 121 121 xyz 都平行，且过原点的平面方程是 （2）当x 时，函数2xyx取得极小值 （3）由lnyx与两直线(1)yex及0y 围成图形的面积是 （4）设L为取正向的圆周 22 9xy，则曲线积分 2 (22 )(4 ) L xyy dxxx dy 的值是 （5）已知三维线性空间的一组基底 123 (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)，则向量 (2,0,0)在上述基底下的坐标是 二、 （本题满分 8 分）二、 （本题满分 8 分） 求正的常数a与b，使等式 2 00 1 lim1 sin x x t dt bxxat 成立 三、 （本题满分 7 分） 三、 （本题满分 7 分） （1）设函数, f g连续可微，( ,),()uf x xy vg xxy，求, uv xx （2）设矩阵A和B满足2ABAB，其中 301 110 014 A ，求矩阵B 四、 （本题满分 8 分） 四、 （本题满分 8 分） 求微分方程 2 6(9)1yyay的通解，其中常数0a 五、选择题（每小题 3 分，满分 12 分） 五、选择题（每小题 3 分，满分 12 分） （1）设常数0k ，则级数 2 1 ( 1)n n kn n （A）发散， （B）绝对收敛， （C）条收敛， （D）收敛与发散与k值有关 （2）设为( )f x已知连续函数， 0 ( ),0,0 s t Itf tx dx st ，则I的值 （A）依赖于s和t， （B）依赖于s、t、x （C）依赖于t、x，不依赖于s （D）依赖于s，不依赖于t 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 2 （3）设 2 ( )( ) lim1 () xa f xf a xa ，则在点xa处 （A）( )f x导数存在，( )0fa （B）( )f x取得极大值 （C）( )f x取得极小值 （D）( )f x导数不存在 （4）设A为方阵且0Aa，而*A是A的伴随矩阵，则*A （A）a （B） 1 a （C） 1n a （D） n a 六、 （本题满分 10 分） 六、 （本题满分 10 分） 求幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛域，并求其和函数 七、 （本题满分 10 分） 七、 （本题满分 10 分） 计算曲面积分 2 (81)2(1)4 S xydydzydzdxyzdxdy ， 其中S是曲线 1 0 zy x (03)y绕y轴旋转一周所形成的曲面， 它的法向量与y轴正 向夹角恒大于 2 八、 （本题满分 10 分） 八、 （本题满分 10 分） 设函数( )f x在闭区间0,1上可微，对于闭区间0,1上的每一个x，函数的值都在开区间 (0,1)内且( )1fx，证明在开区间(0,1)内有且仅有一个，使( )f 九、 （本题满分 8 分） 九、 （本题满分 8 分） 问, a b为何值时，线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 (3)2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解？无解？有无穷多解？并 无穷多解时的通解。 十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分）十、填空题（每小题 2 分，满分 6 分） （1）在一次试验中事件A发生的概率为p，现进行n次试验，则A至少发生一次的概率 为 ；事件A至多发生一次的概率为 （2）三个箱子，第一个箱子有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子有 3 个黑球 3 个白球，第三 个箱子有 3 个黑球 5 个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，这个球为白 球的概率为 ，已知取出的是白球，此球属于第二个箱子的概率是 （3）已知随机变量X的密度为 2 21 1 ( ) xx f xe ，则X的数学期望为 ，X 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 3 的方差为 十一、 （本题满分 6 分） 十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量,X Y相互独立，其密度函数分别为 1,01,0 ( ),( ) 0,0,0 y XY xey fxfy elsey ，求随机变量2ZXY的概率密度 函数( ) Z fz 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 4 数学 一、 （本题满分 15 分） 【同数学第一题】 二、 （本题满分 14 分） 数学 一、 （本题满分 15 分） 【同数学第一题】 二、 （本题满分 14 分） （1） （6 分）计算定积分 2 | | 2(| |) x xx edx （2） （8 分） 【同数学第二题】 三（本题满分 7 分） 三（本题满分 7 分） 设函数( , , ), y zf u x y uxe，其中f有二阶连续偏导数，求 2z x y 四、 （本题满分 8 分） 【同数学第四题】 五、 （本题满分 12 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 10 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 10 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 10 分） 【同数学第八题】 九、 （本题满分 8 分） 【同数学第九题】 十、 （本题满分 6 分） 四、 （本题满分 8 分） 【同数学第四题】 五、 （本题满分 12 分） 【同数学第五题】 六、 （本题满分 10 分） 【同数学第六题】 七、 （本题满分 10 分） 【同数学第七题】 八、 （本题满分 10 分） 【同数学第八题】 九、 （本题满分 8 分） 【同数学第九题】 十、 （本题满分 6 分） 设 12 , 为阶方阵A的特征值， 12 ，而 12 ,x x分别为对应的特征向量，试证明 12 xx不 是的特征向量 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 5 数学 一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分） 数学 一、填空题（每小题 2 分，满分 10 分） （1）设ln(1)yax，其中0a ，则 dy dx ， 2 2 d y dx （2）曲线arctanyx在横坐标为 1 点处的切线方程是 ；法线方 程是 （3）积分中值定理的条件是 ，结 论是 （4） 2 lim() 1 n n n n （5）( )fx dx ，(2 ) b a fx dx 二、 （本题满分 6 分） 二、 （本题满分 6 分） 求极限 0 11 lim() 1 x x xe 三、 （本题满分 7 分） 三、 （本题满分 7 分） 设 5(sin ) 5(1 cos ) xtt yt ，求, dy dx 2 2 d y dx 四、 （本题满分 8 分） 四、 （本题满分 8 分） 计算定积分 1 0 arcsinxx dx 五、 （本题满分 8 分） 五、 （本题满分 8 分） 设D是曲线 sin1yx 与三条直线 0,0xxy 围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转 一周所生成的旋转体的体积 六、 （本题满分 10 分） 六、 （本题满分 10 分） （1） （5 分）若函数( )f x在( , )a b内可导且导数( )fx恒大于零，则函数( )f x在( , )a b内单 调增加 （2）（5 分） 若( )g x在xc处二阶导数存在且( )0,( )0g cg c， 则( )g c为函数( )g x的 一个极大值 七、 （本题满分 10 分） 七、 （本题满分 10 分） 计算不定积分 2222 sincos dx axbx ，其中, a b为不全为零的非负数 八、 （本题满分 15 分） 八、 （本题满分 15 分） （1） （7 分）求微分方程 dy xxy dx ，满足条件 2 |0 x y 的解 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 6 （2） （8 分）求微分方程2 x yyyxe的通解 九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分） 九、选择题（每小题 4 分，满分 16 分） （1） cos ( ) |sin|, x f xxx ex 是 （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D） 偶函数 （2）函数( )sinf xxx （A）当x 时为无穷大 （B）当x 时有极限 （C）在(,) 内有界 （D）在内(,) 无界 （3）设( )f x在xa处可导，则 0 ()() lim x f axf ax x 等于 （A）( )fa （B）2( )fa （C）0 （D） (2 )fa （4） 【同数学第五题（2） 】 十、 （本题满分 10 分） 十、 （本题满分 10 分） 在第一象限内， 求曲线上的一点， 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴围成的面积为最小， 并求此最小面积 刘老师考研数学 Tel:18288258828;Mail:18288258828189.cn 7 数学 一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） 数学 一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得-1 分，不答得 0 分，全题最低 0 分） （1） 1 0 lim x x e （2） 4 sin0xx dx （3）若级数 1 n n a 和 1 n n b 均发散，则级数 1 () nn n ab 必发散 （4） 假设D是矩阵A的r阶非零子式， 且含D的一切1r 阶子式都等于零， 那么矩阵A的 一切1r 阶子式都等于零 （5）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于零 二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分） 二、选择题（每小题 2 分，满分 10 分） （1）下列函数在其定义域内连续的是 （A）( )lnsinf xxx （B） sin ,0 ( ) cos ,0 x x f x x x （C） 1,0 ( )0,0 1,0 xx f xx xx （D） 1 ,0 |( ) 0,0 x xf x x （2）若函数( )f x在区间( , )a b内可导， 12 ,x x是区间( , )a b内任意两点，