XX届高考数学轮函数的最值专项复习教案10函数的最值知识梳理求函数最值的常用方法有：配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值；判别式法：若函数y=f可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程ax2+bx+c=0，则在a0时，由于x、y为实数，故必须有=b24ac0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值.不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值.换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值.函数的单调性法.点击双基函数f=的最大值是A.B.c.D.解析：1x=1x+x2=2+，f=，fax=.答案：D若x2+y2=1，则3x4y的最大值为A.3B.4c.5D.6解析：x2+y2=1，可设x=cos，y=sin.3x4y=3cos4sin=5sin5.答案：c函数y=x的最大值为_.答案：设x0，y0且3x+2y=12，则xy的最大值是_.解析：x0，y0，3x2y262xy6.答案：6函数y=|x1|+|x3|的最小值是_.解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，y=|x1|+|x3|=|PA|+|PB|AB|=2.答案：2典例剖析【例1】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为82，问x、y分别为多少时用料最省？解：由题意得xy+x=8，y=.于是，框架用料长度为L=2x+2y+2=x+2=4.当且仅当x=，即x=84时，等号成立.此时，x2.343，y=22.828.故当x为2.343，y为2.828时，用料最省.【例2】设f=g=t+.求S=fg的最大值.解：当0t20时，S=.=10.5，又tN，t=10或11时，Sax=176.当20t40时，S=.t=20时，Sax=161.综上所述，S的最大值是176.【例3】设0a1，x和y满足logax3logxalogxy3，如果y有最大值，求这时a和x的值.解：原式可化为logax3，即logayloga2x3logax32，知当logax时，logay有最小值.0a1，此时y有最大值a.根据题意有aa.这时xa.评述：本题是已知函数的最值，求函数式中的字母参数的值.这类问题，也是常见题型之一.深化拓展已知f=2+log3x，求函数g=f2+f的最大值与最小值.解：由f的定义域为1，9可得g的定义域为1，3.又g=2+=23，1x3，0log3x1.当x=1时，g有最小值6；当x=3时，g有最大值13.答案：当x=1时，g有最小值6；当x=3时，g有最大值13.闯关训练夯实基础若奇函数f在a，b上是增函数，且最小值是1，则f在b，a上是A.增函数且最小值是1B.增函数且最大值是1c.减函数且最小值是1D.减函数且最大值是1解析：f=1，f=1.答案：B将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_.解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1x，半径r=.S正=2=，S圆=.S正+S圆=.当x=时有最小值.答案：设函数f的定义域为R，若存在常数0，使|f|x|对一切实数x均成立，则称f为F函数.给出下列函数：f=0；f=x2；f=；f=；f是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有|ff|2|x1x2|.其中是F函数的序号为_.答案：函数y=的值域是_.解析：由y=，得x=0.y3.答案：是偶函数，不必取0，）则y=sin2.yax=，yin=0.培养能力设函数f=x2+x+的定义域是n，n+1，问f的值域中有多少个整数？解：f=2+的图象是以为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n，f的值域是f，f，即n2+n+，n2+3n+.其中最小的整数是n2+n+1，最大的整数是n2+3n+2，共有+1=2n+2个整数.已知函数g=lgax2x+3的值域是R，求实数a的取值范围.解：由题意知，应使h=ax2x+3能取到一切正实数.a=0时，h=x+3，显然能取到一切正实数；a=1时，h=2x+3，也能取到一切正实数；a0且a1时，h=ax2x+3是二次函数，必须有解得a1或0a.综上所述，a的取值范围是，10，.探究创新已知函数f=x，xR.当x0时，求f的最大值；当x0时，指出f的单调性，并用定义证明；试作出函数f的简图.解：x0，欲求f的最大值，必有1x20，y2=x22=2x23=，y=.当且仅当2x2=1x2，即x=时，取“=”，即fax=f=.由知，当x单调递增，x，+）时，f单调递减.设x2x10，则ff=x23+x2=1.当0x1x2时，x2x10，10.ff.f在0，ff.f在，+）上递减.注：图象过点、，关于原点对称.评述：第题也可用导数解决.=13x2，令=0，x=.又x0，x=.通过检验单调性知，当x=时，f取得最大值，其最大值为，以下解法同上.思悟小结求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.教师下载中心教学点睛利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.拓展题例【例1】已知二次函数y=f的最大值等于13，且f=f=5，求f的解析式.解：f=f，抛物线y=f有对称轴x=1.故可设f=a2+13，将点代入，求得a=2.f=22+13=2x2+4x+11.【例2】已知函数f的定义域为R，且对一切xR，都有f=f，f=f.若f=9，求f的值；已知x2，7时，f=2，求当x16，20时，函数g=2xf的表达式，并求出g的最大值和最小值.解：由f=f，f=f可以发现函数f的图象关于直线x=2，x=7对称，且f=f+2=f2=f=f7=f7+=f.f是以10为周期的周期函数.f=f=f=9.根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f=g=x16，17时，g的最大值为16，最小值为9；xg=9，g的最大值为g=36，gax=36，gin=9.