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XX届高考数学轮数列的应用专项复习教案5数列的应用知识梳理实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.理解“复利”的概念,注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.实际问题转化成数列问题,首先要弄清首项、公差,其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.点击双基已知an是递增的数列,且对于任意nN*,都有an=n2+n成立,则实数的取值范围是A.0B.0c.=0D.3解析:由题意知anan+1恒成立,即2n+1+0恒成立,得3.答案:D设a1,a2,a50是从1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+a50=9,且2+2+2=107,则a1,a2,a50中有0的个数为A.10B.11c.12D.13解析:将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+a502=39,故此50个数中有11个数为0.答案:B如下图,它满足:第n行首尾两数均为n;表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行第2个数是_.解析:设第n行的第2个数为an,不难得出规律,则an+1=an+n,累加得an=a1+1+2+3+=.答案:已知an=logn+1,观察下列运算a1a2=log23log34=2,a1a2a3a4a5a6=log23log34log67log78=3.定义使a1a2a3a为整数的叫做企盼数.试确定当a1a2a3a=XX时,企盼数=_.解析:由a1a2a=log2=XX,解之得=2XX2.答案:2XX2典例剖析【例1】某市XX年底有住房面积1200万平方米,计划从XX年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.分别求XX年底和XX年底的住房面积;求2024年底的住房面积.剖析:本题实质是一个等比数列的求和问题.解:XX年底的住房面积为120020=1240,XX年底的住房面积为1XX2020=1282,XX年底的住房面积为1240万平方米,XX年底的住房面积为1282万平方米.024年底的住房面积为XX02019XX2020=1XX0202522.64,2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.评述:应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案.【例2】由于美伊战争的影响,据估计,伊拉克将产生60100万难民,联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.天运送1000t,第二天运送1100t,以后每天都比前一天多运送100t,直到达到运送食品的最大量,然后再每天递减100t,连续运送15天,总共运送21300t,求在第几天达到运送食品的最大量.剖析:本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解:设在第n天达到运送食品的最大量.则前n天每天运送的食品量是首项为1000,公差为100的等差数列.an=1000+100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为100n+800,公差为100的等差数列.依题意,得000n+100+=21300.整理化简得n231n+198=0.解得n=9或22.答:在第9天达到运送食品的最大量.评述:对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.【例3】XX年底某县的绿化面积占全县总面积的40%,从XX年开始,计划每年将非绿化面积的8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2%被非绿化.设该县的总面积为1,XX年底绿化面积为a1=,经过n年后绿化的面积为an+1,试用an表示an+1;求数列an的第n+1项an+1;至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%.剖析:当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解:设现有非绿化面积为b1,经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1,an+bn=1.依题意,an+1是由两部分组成,一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an,另一部分是新绿化的面积bn,于是an+1=an+bn=an+=an+.an+1=an+,an+1=.数列an是公比为,首项a1=的等比数列.an+1=+n.an+160%,+n,n,nlg2,n6.5720.至少需要7年,绿化率才能超过60%.思考讨论你知道他是怎么想出an中的来的吗?闯关训练夯实基础某林厂年初有森林木材存量S3,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量x3,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是A.B.c.D.解析:一次砍伐后木材的存量为Sx;二次砍伐后木材存量为Sxx.由题意知2Sxx=S,解得x=.答案:c一批花盆堆成三角形垛,顶层一个,以下各层排成正三角形,逐层每边增加一个花盆,若第n层与第n+1层花盆总数分别为f和f,则f与f的关系为A.ff=n+1B.ff=nc.f=f+2nD.ff=1答案:A从XX年1月2日起,每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,到XX年1月1日将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为_万元.解析:存款从后向前考虑+2+5=7.注:XX年不再存款.答案:7某工厂去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为_.解析:每年的总产值构成以a=1.1a为首项,公比为1.1的等比数列,S5=11a.答案:11a从盛满aL纯酒精容器里倒出1L,然后再用水填满,再倒出1L混合溶液后,再用水填满,如此继续下去,问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.解:每次用水填满后酒精浓度依次为,2,3,故每次倒出的纯酒精为1,2,n1,.第九、十两次共倒出的纯酒精为98.培养能力已知直线l上有一列点P1,P2,Pn,其中nN*,x1=1,x2=2,点Pn+2分有向线段所成的比为.写出xn+2与xn+1,xn之间的关系式;设an=xn+1xn,求数列an的通项公式.解:由定比分点坐标公式得xn+2=.a1=x2x1=1,an+1=xn+2xn+1=xn+1=an,=,即an是以a1=1为首项,为公比的等比数列.an=n1.已知点的序列An,n*,其中xl0,x2a,A3是线段AlA2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An2An1的中点,.写出xn与xn1、xn2之间的关系式;设anxn1xn,计算al,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明.解:当n3时,xn=.a1=x2x1=a,a2=x3x2=x2=a,a3=x4x3=x3=a,由此推测:an=n1a.证明如下:因为a1=a0,且an=xn+1xn=xn=an1,所以an=n1a.探究创新下表给出一个“等差数阵”:a1j12a2ja3ja4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数.写出a45的值;写出aij的计算公式;证明:正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.解:a45=49.解:该等差数阵的行是首项为4,公差为3的等差数列:a1j=4+3,第二行是首项为7,公差为5的等差数列:a2j=7+5,第i行是首项为4+3,公差为2i+1的等差数列,因此aij=4+3+=2ij+i+j=i+证明:必要性:若N在该等差数阵中,则存在正整数i、j使得N=i+j,从而2N+1=2i+2j+1=,即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性:若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数、l,使得2N+1=,从而N=+l=al,可见N在该等差数阵中.综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.思悟小结等差、等比数列的应用题常见于:产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.将实际问题转化为数列问题时应注意:分清是等差数列还是等比数列;分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.教师下载中心教学点睛解应用题的关键是建立数学模型,转化为数学问题,要加强培养学生的转化意识.分期付款问题要弄清付款方式,不同方式抽象出的数学模型则不一样.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.强化转化思想、方程思想的应用.拓展题例【例1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求,提高效益,特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号,并马上投入生产.年需要的各种费用是12万元,从第二年开始,所需费用会比上一年增加4万元,而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据,解决下列问题:引进该设备多少年后,开始盈利?引进该设备若干年后,有两种处理方案:种:年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算?并说明理由.解:设引进设备n年后开始盈利,盈利为y万元,则y=50n98=2n2+40n98,由y0,得10n10+.nN*,3n17,即3年后开始盈利.方案一:年平均盈利为,=2n+402+40=12,当且仅当2n=,即n=7时,年平均利润最大,共盈利127+26=110万元.方案二:盈利总额y=22+102,n=10时,y取最大值102,即经过10年盈利总额最大,共计盈利102+8=110万元.两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算.【例2】据某城市XX年末所作的统计资料显示,到XX年末,该城市堆积的垃圾已达50万吨,侵占了大量的土地,并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测,从XX年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾,
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