1,1,2,2,3,3,4,4,6.证明：函数 在点 连续、偏导数存在、但不可微.,所以在点 连续,所以在点 偏导数都存在,5,5,所以在点 不可微。,6,6,7.设 具有二阶连续偏导数，且 ，,解：,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,16,17,17,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ) , B( 4 , 2 ) ,试在椭圆,圆周上求一点 C ,使 面积最大.,解:,设 C 点坐标为 ( x, y ), 则 面积,18,18,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知，点 C 与 E 重合时,三角形面积最大。,19,19,在圆锥面 与平面 所围成的锥体内作底面与 面平行的长方体，求最大长方体的体积。,解 设长方体的一个顶点 在锥面，则长方体的体积：,20,20,将式乘以x与式乘以y相比较得,将 代入式并由式得 ，,将 代入式得 。,所以得唯一驻点为 ，,依题意必有最大值，从而长方体的最大体积为,21,21,22,22,23,23,24,24,25,25,26,26,27,27,.计算 ， 其中域由 围成。,解：由积分域及被积函数的特点,故采用“先二后一”的方法较方便，即,28,28,( t 为时间) 的雪堆在融化过程中, 其,侧面满足方程,设长度单位为厘米 ,时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ) , 问高度为130(厘米) 的雪堆全部融化需 要多少小时?,5设有一高度为,29,29,记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则,侧面方程:,30,30,由题意知,令,得,(小时),因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为100 小时.,31,31,例6. 设,在,上连续 , 证明,证: 左端,= 右端,32,32,7.求均匀球体 （体密度为1）绕 轴的转动惯量。,解：即求,方法1：,33,33,方法2：（先二后一）,34,34,其中 由锥面 与平面 围成的立体。,解：,用球面 将 分成 和 两部分,35,35,36,36,37,37,38,38,39,39,40,40,41,41,其中 是圆柱面,被平面 所截出部分的外侧。,42,42,增加上截面上侧及下截面下侧 。,43,43,14.设 为一简单光滑闭曲面， 上的点 处的外法线，,不在 上，,证明：,设 的单位向量,44,44,45,45,(1) 当 不包含 ,直接用高斯公式,(2) 当 包含 时,取充分小 ，作球面,含在内 ， 取小球内侧,46,46,47,47,48,48,49,49,50,50,51,51,52,52,原级数为条件收敛。,故原级数收敛,53,53,当 ，即 时，级数 收敛，于是原级数绝对收敛。,当 ，即 时，级数 发散，于是原级数条件收敛。,54,54,55,55,56,56,57,57,58,58,59,59,60,60,61,61,62,62,63,63,64,64,65,65,常微分方程,66,66,解:原方程改写为,分离变量,两边积分,从而通解为,67,67,解:将原方程写成,68,68,解:原方程变形为,属于 的伯努利方程。,69,69,70,70,解:将方程改写为,代入方程得,故原方程通解为,71,71,由初始条件 知 代入上式得：,两边积分并整理得,故所求特解为,72,72,73,73,74,74,75,75,76,76,解：由线性微分方程解的结构理论知，,及 是对应齐次方程,的解且它们线性无关，,77,77,78,78,79,79,14.求满足 的具有二阶连续导数的函数 ，使,是全微分方程，并求此全微分方程的积分曲线中经过 的一条积分曲线。,解：由,解得,代入方程得,80,80,所以微分方程通解为,因此全微分方程为,所以全微分方程通解为,于是所求积分曲线为,