平面向量的数量积及应用教学目标1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测2017年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学准备多媒体课件教学过程一知识梳理：1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。二典例分析(1)若向量a(1, 1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6B5C4 D3(2) (2012湖南高考)如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP3，则_. (1) 8ab8(1,1)(2,5)(6, 3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30.即183x30，解得x4.(2)法一：2，又由APBD得且，0，且0于是(2)222|218.法二：()()22|cos ，2|2|223218. (1)C(2) 18由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解以题试法1(1)(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1) ，R.若2，则()A. B.C. D2解析：选B由题意可知(1) ，且0，故(1) 222.又|1，|2，代入上式解得.(2)(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.又因为e1，e2为单位向量，夹角为，所以b1b23283186.答案：6两平面向量的夹角与垂直典题导入 (1)(2012福州质检)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与c的夹角为90.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0.又a与b不共线，cos 1.k1.(1)B(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，试求a与b的夹角解：设|a|m(m0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0180，所以120，即a，b的夹角为120.由题悟法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系以题试法2(1)设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则a(ab)的一个充分不必要条件是()Ax0或2 Bx2Cx1 Dx2(2)已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，向量d如图所示，则()A存在0，使得向量c与向量d垂直B存在0，使得向量c与向量d夹角为60C存在0，使得向量c与向量d共线解析：(1)选Ba(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故a(ab)2(x1)220x0或2，故x2是a(ab)的一个充分不必要条件(2)选D由图可知d4a3b4，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60；对于C，若0，则向量c与向量d夹角大于30.平面向量的模典题导入 (2012洛阳统考)已知P为锐角三角形ABC的AB边上一点，A60，AC4，则|3|的最小值为()A4 B4C6 D6因为，所以|3|2|34|29224162.设|x，则|3|216948x16x216(x23x9)因为三角形ABC是锐角三角形，所以0xc)(1)由题意知，f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，f(x)的最小正周期T，ycos x在(kZ)上单调递减，令2k2x2k，得kxk.f(x)的单调递减区间，kZ.(2)f(A)12cos1，cos1.又2Ac，b3，c2.由题悟法向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题以题试法4(1)(2012朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2B2C2 D6(2)若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：(1)选A由已知条件F1F2F30，则F3F1F2，FFF2|F1|F2|cos 6028.因此，|F3|2.(2)选B由()(2)0，可知()0，设BC的中点为D，则2，故0.所以.又D为BC的中点，故ABC为等腰三角形板书设计平面向量的数量积及应用1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）向量夹角的范围0q180。C2. 数量积的概念=cos叫做与的数量积（或内积）。规定；3. 向量的投影：cos称为向量在方向上的投影。4. 向量数量积的性质。乘法公式成立；向量的夹角：cos=。5. 两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。