2017届广东七校联合体高三上学期联考（二）数学（理）试题一、选择题1设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：,故选B.【考点】集合及运算.2命题：“，使”，这个命题的否定是（ ）A，使 B，使C，使 D，【答案】B【解析】试题分析：特称命题的否定,将原命题中的存在量词改为全称量词,并将结论否定,故选B.【考点】命题及其关系.3已知（其中均为实数，为虚数单位），则等于（ ）A2 B C1 D1或【答案】B【解析】试题分析：,所以,故选B.【考点】复数的四则运算.4设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则等于（ ）A B C7 D14【答案】C【解析】试题分析：,故选C.【考点】等差数列的通项公式即前项和.5若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：单调递增,故选C.【考点】零点存在性定理.6函数的图象向右平移个单位后，与函数的图像重合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：向右平移个单位后,得到，,故选C.【考点】三角函数图象变换.7等差数列和等比数列的首项都是1，公差公比都是2，则（ ）A64 B32 C256 D4096【答案】D【解析】试题分析：,故选D.【考点】等比数列和等差数列的通项.8由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：,故选D.【考点】定积分的应用.9已知是所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：以为邻边作平行四边形,则,即是边上的中线的中点,点到的距离等于到的距离的,因此所求概率为,故选C.【考点】1.几何概型；2.平面向量的运算.【思路点睛】本题考查学生的是几何概型的概率求法与平面向量相结合的交汇处,属于基础题目.根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量的充要条件,得到点是边上的中线的中点,再根据几何概型公式,将面积与的面积相除可得到本题的答案.几何概型通常是事件构成的区间长度与基本事件构成的区间长度之比.10把四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A36种 B30种 C24种 D18种【答案】B【解析】试题分析：分两步进行分析:先计算把四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将件玩具分成组,其中组有件,剩余组各件,有种分组方法,再将这组对应三个小朋友,有种方法,则有种情况；计算两件玩具分给同一个人的分法数目,若两件玩具分给同一个人,则剩余的件玩具分给其他人,有种情况.综上可得,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有种,故选B.【考点】排列组合的应用.11若，且，则的可能取值是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：,则的值域是.,记为,当且仅当时取等号,故选A.【考点】1.两角和与差的正切公式；2.基本不等式.【思路点晴】本题主要考查学生的是三角函数的应用问题,属于中档题目.其中设得到是本题的解题关键.先根据已知求出的范围,再通过令的整体代换,找到和要求的的关系,即把变形成为关于的函数形式,通过基本不等式放缩求出最值,并验证取等条件.12已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由圆的对称性知,只需考虑圆心到图象上一点距离的最小值.设函数图象上任一点,即经过的切线斜率为,由切线垂直于直线,所以.不妨设，则为增函数,又,即当时线段长度最小,为,故选C.【考点】1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上任意一点的切线方程,属于中档题.由圆心到圆上任意一点的距离为,本题转化为圆心到函数上一点距离的最小值,由导数的几何意义,求出切线斜率为,由两直线垂直的条件,求出,判断函数的单调性,求出零点,再由两点间距离公式求出最小值.13已知函数，且（1）求的值；（2）若，求【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由又,可得；(2)由,利用两角和与差的正弦公式化简可得,结合,求出,利用二倍角公式化简,即可得解.试题解析：解：（1），解得：4分（2）由（1）知：，8分，10分12分【考点】1.特殊角的三角函数求值；2.两角和与差的正弦公式.【方法点睛】本题主要考查的是特殊角的三角函数值,两角和与差的正弦公式,同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式,属于中档题.解本题需要掌握的基本公式有:等,在求三角函数值时,要注意先根据已知判断出角的范围,再确定函数值的正负.二、填空题14的值等于_【答案】【解析】试题分析：,其中表示半径为的圆的面积的,因此原式等于,故填.【考点】定积分的计算.15已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则_【答案】【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,可知当直线经过点时,直线在轴的截距最大,最小,即;当直线经过点时,直线在轴的截距最小,最大,即,所以,故填.【考点】线性规划.16如图，正六边形的边长为1，则 _【答案】【解析】试题分析：连接,则是等边三角形,的夹角为,即的夹角为,故填.【考点】平面向量数量积的运算.【方法点晴】本题考查学生的主要是平面向量数量积的运算,属于基本题目.熟练的掌握正六边形的性质和余弦定理,数量积的定义,向量的夹角公式,是解决本题的关键.连接,利用正六边形的性质和余弦定理,可得出与的夹角为,且,再利用数量积的定义即可得到的值,在求向量夹角时要注意向量的起点相同.17已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是 _【答案】【解析】试题分析：即,设,当时,即递减,可得,即；设,当时,即递减,可得,即.综上可得:,故填.【考点】1.存在性问题；2.导数的应用.【方法点晴】本题考查学生的是存在性问题以及导数在函数问题中的应用,属于难题.解决本题的关键是在的前提下,把绝对值外的变量乘到绝对值里,整体去掉绝对值,通过常用的解决恒成立和有解类型问题的方法,参变分离,转化为函数的最值问题,分别构造函数,求导判断单调性求出最值,解不等式即可得到的范围.三、解答题18设数列的前项之积为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项之和为若对任意的，总有，求实数的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由,再由可得数列的通项公式；(2)先求出,再根据对任意的,可得的取值范围.试题解析：解：（1）由，得，所以，所以又，所以6分（2）由，得，所以，因为对任意的，故所求的取值范围是12分【考点】1.等比数列的通项公式和性质；2.等比数列求和.19在长方体中，分别是的中点，过三点的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为（1）求证：平面；（2）求的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【解析】试题分析：(1)证得是平行四边形,得出线线平行,利用线面平行的判定定理证明命题成立；(2)利用等体积转化,求出；(3)在平面中作,过作,推出,证明,推出相似于,求得.试题解析：解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，又面面，则平面4分（2），8分（3）在平面中作交于，过作交于点，则 . 因为平面平面，而，又，平面,且平面，又，四边形为直角梯形，且高， 12分【考点】1.线面平行的判定定理；2.等体积求点线距；3.三角形相似.20如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形， 管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于两点），过点修建与平行的小路问：点选择在何处时，才能使得修建的小路与及的总长最小？并说明理由【答案】时,总长最小.【解析】试题分析：由题意,过分别作的垂线,在直角三角形中用表示线段长度,将总长最小转化为三角函数的最值问题,对函数求导判断单调性,得出在时,总长最小.试题解析：解：连接，过作垂足为，过作垂足为，设，若，在中，若，则，若，则，4分在中，, 6分所以总路径长，8分10分令，当时，当时，11分所以当时，总路径最短答：当时，总路径最短12分【考点】三角函数的实际应用.21已知函数（1）当时，求在点处的切线方程；（2）当时，设函数，且函数有且仅有一个零点，若，求的取值范围【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)时,对求导,切点为,因此切线方程是；(2)令分离变量得,构造,求导判断单调性可得,在递增,递减,且,因此有一个交点,可得出,又在恒成立,因此