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2017届湖南师大附中高三上学期月考(四)数学(文)试题一、选择题1若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( )A等腰三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角三角形【答案】A【解析】试题分析:根据集合中元素的特性:互异性可知,该三角形不可能为等腰三角形.选A.【考点】集合中元素的性质.2已知命题:若,则;:“”是“”的必要不充分条件,则下列命题是真命题的是( )A B C D【答案】B【解析】试题分析:命题为假命题,比如,但,命题为真命题,不等式的解为,所以,而,所以“”是“”的必要不充分条件,由命题的真假情况,得出为真命题,选B.【考点】命题真假的判断.【易错点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及充分必要条件的判断,属于易错题. 判断一个命题为假命题时,举出一个反例即可,判断为真命题时,要给出足够的理由. 对于命题,为假命题,容易判断,对于命题,要弄清楚充分条件,必要条件的定义:若,则是的充分不必要条件,若,则是的必要不充分条件,再根据复合命题真假的判断,得出为真命题.3已知等差数列的前项和为,若,则取最大值时,的值为( )A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析:设等差数列的公差为,则有,算出,所以,故当时,取最大值,选C.【考点】等差数列的基本计算.4函数的图象大致为( )【答案】B【解析】试题分析:采用排除法,函数定义域为,排除A,当时,排除D,当时,排除C,故选B.【考点】函数的图象.5过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,且,这样的直线可以作2条,则的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】试题分析:过抛物线焦点的弦最短的为通径,且长为,由已知有,所以,又,所以,选D.【考点】抛物线的性质.6已知(),观察下列算式:;若(),则的值为( )A B C D【答案】C【解析】试题分析:,所以有,选C.【考点】1.对数的基本计算;2.对数的换底公式.7阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为58,则判断框中应填入的条件为( )A B C D【答案】B【解析】试题分析:第一次循环,;第二次循环,;第三次循环,;第四次循环,,最后输出的数据为,所以判断框中应填入,选B.【考点】程序框图.8已知是奇函数并且是上的单调函数,若函数只有一个零点,则函数的最小值是( )A5 B C D【答案】A【解析】试题分析:因为是奇函数,所以,令,则有,由题意有只有一个零点,所以,求出,所以,当且仅当时等号成立.选A.【考点】1.函数的性质;2.基本不等式.9三棱锥中,平面,则这该三棱锥的外接球表面积为( )A B C D【答案】D【解析】试题分析:设外接圆圆心为,半径为,由余弦定理的推论有,所以,由有,设外接球的球心为,半径为,则,所以,故外接球表面积为,选D.【考点】1.正弦定理,余弦定理;2.外接球的性质.10为内一点,且,若,三点共线,则的值为( )A B C D【答案】A【解析】试题分析:由有,所以,因为,三点共线,所以,则,故有,选A.【考点】1.向量共线的条件;2.两向量相等的条件.11如图,是双曲线()的左、右焦点,过的直线与双曲线交于点、,若为等边三角形,则的面积为( )A8 B C D【答案】C【解析】试题分析:由双曲线的定义有,又为等边三角形,所以,代入求出,又,在中,利用余弦定理,而,求出,所以.选C.【考点】1.双曲线的定义;2.余弦定理;3.三角形面积公式.【思路点睛】本题给出经过双曲线()的左焦点的直线被双曲线截得的弦与右焦点构成等边三角形,求三角形的面积,着重考查了双曲线的定义和简单几何性质,属于中档题.本题思路:利用双曲线定义,求出,在中利用余弦定理求出,再利用三角形面积公式求出的面积.12定义在上的函数对任意,()都有,且函数的图象关于成中心对称,若,满足不等式,则当时,的取值范围是( )A B C D【答案】D【解析】试题分析:由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以,,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,令,则,求出,所以,解得,的取值范围是,选D.【考点】1.函数的基本性质;2.线性规划.【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称,根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.二、填空题13若,则关于的不等式的解集是 【答案】【解析】试题分析:原不等式等价于,因为,所以,所以原不等式的解集为.【考点】一元二次不等式的解.14如图所示,在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为25的建筑物,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的处测得,沿山坡前进到达处,又测得,根据以上数据得 【答案】【解析】试题分析:,在中,由正弦定理有,代入,计算得出,在中,由正弦定理有,代入,计算得出,所以.【考点】解三角形的实际应用.15如图,在中,、边上的高分别为、,若以、为焦点,且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为,则的值为 【答案】【解析】试题分析:设,则在椭圆中,由椭圆的定义有,同理在双曲线中,有,故.【考点】1.椭圆的简单性质;2.双曲线的简单性质.【思路点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质和双曲线的简单性质,属于中档题. 本题思路:根据题意,假设,由椭圆的定义求出,求出离心率的倒数为,同理可求出双曲线的离心率的倒数,故.解答本题的关键是利用椭圆和双曲线的定义列出等式,求出离心率的倒数.16某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:题目:“在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于,”解:“设的斜率为,点,”据此,请你写出直线的斜率为 (用表示)【答案】【解析】试题分析:因为直线斜率之积为,所以的斜率为,由已知,所以把换成,可得点,则直线的斜率为.【考点】1.直线与椭圆的位置关系;2.直线斜率的计算公式.【方法点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系, 运算能力,属于中档题. 利用两条直线斜率之积为,得出直线的斜率为, 把换成,可得出点的坐标, 利用经过两点的直线斜率计算公式,可求出直线的斜率的表达式. 解答本题的关键是替换思想, 即把换成,得出点的坐标.三、解答题17在中,角,所对的边分别为,且满足(1)求角的值;(2)若,求的取值范围【答案】(1)或;(2).【解析】试题分析:(1)利用倍角公式和两角和差公式展开,得出,求出角;(2)由正弦定理,边长用正弦表示,求出的表达式,根据角得范围,求出的范围.试题解析:(1)由已知得化简得,故或(2)由正弦定理,得,故因为,所以,所以【考点】解三角形.18设数列满足,点()均在直线上(1)证明数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和【答案】(1)证明见解析,;(2).【解析】试题分析:(1)由已知有,变形为,利用等比数列的定义可得出数列为等比数列,再求出通项公式;(2)求出,利用错位相减法求出.试题解析:证明:由点均在直线上可知,则,于是(),即数列是以2为公比的等比数列因为,所以(2),所以,得,故【考点】1.等比数列的定义;2.错位相减法.19如图,在底面是菱形的四棱柱中,点在上(1)求证:平面;(2)当为何值时,平面,并求出此时直线与平面之间的距离【答案】(1)证明见解析;(2)当,平面,.【解析】试题分析:(1)利用线面垂直的判定定理进行证明;(2)连结交于,当点为的中点时,连结,则,得出平面,利用等体积法求出直线与平面之间的距离试题解析:(1)证明:因为底面为菱形,所以,在中,由知,同理,又因为,所以平面(2)解:当时,平面证明如下:连结交于,当时,即点为的中点时,连结,则,所以平面,所以直线与平面之间的距离等于点到平面的距离因为点为的中点,可转化为到平面的距离,设的中点为,连结,则,所以平面,且,可求得,所以,又,所以(表示点到平面的距离),所以直线与平面之间的距离为【考点】1.线面垂直的判定;2.线面平行的判定;3.等体积法.20已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆:的圆心(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、试推断是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2)存在点满足题设条件【解析】试题分析:(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程;(2)假设存在点满足题意,设点(),利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.试题解析:(1)设椭圆方程,半焦距为,因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则,因为椭圆的离心率为,则,即,从而,故椭圆的方程为(2)设点(),则直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离为1,即,即,即,同理由此可知,为方程的两个实根,所以,因为点在椭圆上,则,即,则,令,则,因为,则,即,故存在点满足题设条件【考点】圆与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查圆与椭圆的位置关系,属于中档题. 在(1)中,先求出,再由离心率,求出的值,代入求出椭圆的方程;在(2)中,假设存在点满足题意,设点(),利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,得出,为方程的两个实根,由韦达定理,求出的表达式,代入,求出的值,即点坐标.21已知函数有两个不同的极值点,且(1)求实数的取值范围;(2)设上述的取值范围为,若存在,使对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)注意函数的定义域,对函数求导,令,则,根据方程有两个不等正根,求出的范围;(2)求出函数在上的单调性,并求出最大值,已知恒成立转化为恒成立,设,则的最小值大于即可,讨论函数的单调性,求出的范围.试题解析:(1),令,则,根据题意,方程有两个不等正根,则即解得,故实数的取值范围是(2)由,得即或,所以在和上是增函数,因为,则,所以在上是增函数,当时,由题意,当时,恒成立,即,即恒成立,设,则(1)当时,因为,则,所以在上是减函数,此时,不
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