2018届湖北省恩施州高三第一次教学质量监测考试理科数学（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，由题设有，所以，解得，选B.2. 已知为虚数单位，复数满足，且，则（ ）A. 2或 B. C. 2 D. 【答案】A【解析】，所以，解得或，选A.3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了如图的折线图已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D. 最低气温低于的月份有4个【答案】D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20，而5月份的最高气温为不超过20，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.4. 已知等差数列的前项和为，公差，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，所以，解得或（舎），所以，选C.5. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺【答案】C【解析】可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为尺，表面积为平方尺.6. 定义表示不超过的最大整数，例如，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】第一次执行循环体后，经过判断后，第二次执行循环体后，经过判断后，第三次执行循环体后，此时判断后不执行循环，选D.7. 已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为最小正周期为，所以，向右平移后所得图像的解析式为，由题设应有，所以也即是，又，所以，选A.8. 设满足约束条件则的最大值为（ ）A. B. 3 C. 9 D. 12【答案】C【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最大值，又，所以的最大值为,选C.9. 函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的定义域为，又，所以为偶函数，排除A，而当时，恒成立，故排除C、D ，故选B.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】几何体如图所示，它是边长为1的正方体割去一个角（沿面对角线割开），再补上一个三棱锥(可看成前面割下的角)，其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高也为1，该几何体的体积为，选D.11. 设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为点为椭圆内一点，所以，设左焦点，则，又，所以，也就是即，从而，选B.点睛：与圆锥曲线一个焦点有关的距离问题，可以转化到另一个焦点的距离或与该焦点对应的准线的距离去考虑.12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】考虑函数及函数，对于图像上的任意一点，有，也就是，所以在的图像上；反之，对于图像上的任意一点，有，也就是，所以 在的图像上，故函数及函数的图像关于直线对称，所以恒成立等价于在上恒成立，也就是在上恒成立，令，则，当时，在为增函数，当时，在为减函数，所以，所以即，当且仅当等号成立，故选A.点睛：不等式的恒成立问题通常转化为函数的最值去讨论，但如果不等式对应的函数较为复杂，则我们需要对该函数进行转化.本题中的不等式对应的函数较为复杂，但涉及到的两个函数的图像关于直线对称的，故而把原不等式的恒成立问题转化为在上恒成立问题，参变分离后就是在上恒成立，利用导数求出的最大值即可.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，则_【答案】-4【解析】因为，所以，又，故填14. 的展开式中常数项为_【答案】10【解析】考虑的展开式中的的系数，其展开式的通项为，令即，从而的系数为，所以的常数项为，填15. 在正项等比数列中，是的两个根，则_【答案】【解析】因为为等比数列，所以，又，所以，填点睛：注意观察数列项的下标的特点，如和的关系等，从而可以选择合适的性质去处理16. 设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于，且在第一象限，若为等边三角形，则双曲线的实轴长为_【答案】【解析】在第二象限，设，则，又，所以，所以，所以且，故，整理得到且又，所以，所以，解得，所以实轴长为，填点睛：圆锥曲线中，与一个焦点有关的问题，可以转化到另一个焦点的距离另外，如果点为双曲线上的点，焦点为，则三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）把边角关系转化为角的关系为，从而有即.（2）利用余弦定理有，解得，从而面积为.解析：（1）因为，所以，而，故，所以.（2）由，得，化简得，解得，或（舍去），所以.18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.（1）求甲获得奖品的概率；（2）设为甲参加游戏的轮数，求的分布列与数学期望.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）问题等价于第一轮随机淘汰6人，第二轮随机淘汰3人，第三轮随机淘汰 1人，第四轮随机淘汰1人，如果甲获得奖品，则其概率为.（2）甲参与游戏的轮数为1，2，3,4，依次求出各轮数出现的概率，列出分布列，利用公式计算数学期望即可.解析：（1）设甲获得奖品为事件，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则.（2）随机变量的取值可以为1,2,3,4.,.的分布列为1234 所以数学期望.19. 如图，在三棱台中，分别是，的中点，平面，是等边三角形，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到，从而得到平面.在梯形中，（为棱的中点），所以平面，从而可以证明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量的夹角得到二面角的正弦值为.解析：（1）证明：因为,为棱的中点，所以,所以四边形为平行四边形，从而.又平面,平面,所以平面. 因为是的中位线,所以,同理可证,平面.因为,所以平面平面. 又平面,所以平面.（2）以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,则. 设平面的一个法向量,则 即取，得. 同理，设平面的一个法向量，又,由，得取，得.所以，即二面角的正弦值为.点睛：线面平行的证明可从两个角度考虑：（1）利用线面平行的判断定理；（2）转化为面面平行.空间角的计算可利用空间向量去计算，如二面角可以转化法向量的夹角去考虑，线面角可以转化方向向量和法向量的夹角去考虑.20. 设直线的方程为，该直线交抛物线于两个不同的点.（1）若点为线段的中点，求直线的方程；（2）证明:以线段为直径的圆恒过点.【答案】(1) (2) 见解析.【解析】试题分析：（1）联立直线方程和抛物线方程，消去得到，从而中点坐标可以用表示，从而求出并得到直线的方程.（2）设，则，利用韦达定理可以得到，从而以线段为直径的圆恒过点.解析：（1）联立方程组，消去得.设，则.因为为线段的中点，所以，解得，所以直线的方程为.（2）证明：因为设 ，则，所以，即，所以，因此，即以线段为直径的圆恒过点.21. 函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，且，证明:.【答案】(1) 当时，在上递减，在和上递增；当时，在上递增. (2)见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式求导可得，分类讨论可得：当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.(2)由题意结合函数的性质可知：是方程的两根，结合所给的不等式构造对称差函数 ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式.试题解析：函数的定义域为，（1）令，开口向上，为对称轴的抛物线，当时，即时，即在上恒成立，当时，由，得，因为，所以，当时，即， 当或时，即，综上，当时，在上递减，在和上递增，当时，在上递增.（2）若函数有两个极值点且，则必有，且，且在上递减，在和上递增，则，因为是方程的两根，所以，即，要证 又，即证对恒成立，设 则当时，故，所以在上递增，故，所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数)，直线的参数程为 (为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线.（1）求出曲线