2018届福建省百所重点校高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1设集合，则中整数元素的个数为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】则则中整数有故答案选2已知向量， ，则“”是“与共线”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时， ， 则与共线，当与共线时， ， ， “”是“与共线”的充分不必要条件故选3中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还升， 升， 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A. ， ， 依次成公比为2的等比数列，且B. ， ， 依次成公比为2的等比数列，且C. ， ， 依次成公比为的等比数列，且D. ， ， 依次成公比为的等比数列，且【答案】D【解析】由条件知， ， 依次成公比为的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N项和，即 故答案为D。4若函数在上递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数在上递减，故答案选5某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）A. 36 B. 42 C. 48 D. 64【答案】C【解析】有三视图知该几何体是正方体，挖去了右上角和左下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体的体积的四分之三，故得到正方体边长为此时表面积是 故答案为C。6定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数为奇函数，即,整理得在上恒成立，,，, 函数的零点在区间内。选C。7设变量满足约束条件则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值。由，解得，所以点A的坐标为（3，-3）。的取值范围为。选D。8在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题:若，则此四棱锥的侧面积为；：若分别为的中点，则平面；:若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍. 在下列命题中，为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；取BC的中点G， 分别为的中点故得，故平面EFG/平面PAB，从而得到EF/平面PAB，故是真命题；设AB=a, AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA，AO，POO为球心，球的半径为，表面积为 ,又正方形的面积为,故为真。故为真； 均为假。故答案为A。9设，定义运算: ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】中， ， ， ， ，故错误；中， ， ， ， ， ，故错误；中， ， ，故错误；故答案选点睛：本题是一道新定义运算的题目，在解题过程中按照题目给的条件进行计算，然后再比较大小，本题难度不大，但是在计算过程中要注意结果10设为数列的前项和， ，且.记 为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由2anan1=32n1（n2），得， 由2anan1=32n1（n2），且3a1=2a2，可得2a2a1=6，即2a1=6，得a1=3数列是以为首项，以为公比的等比数列，则 （2+22+23+2n） 22n21n 对nN，Tnm，m的最小值为故答案为A。点睛：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。11当 时， 恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令只需，即a当时， 则的取值范围为故选二、填空题12设向量满足， ，则_【答案】【解析】，又，。答案： 13函数的值域为_【答案】【解析】由可得： 故函数的值域为14若函数的图象相邻的两个对称中心为，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则_【答案】【解析】由题意得，所以。，又点在函数图象上，所以，又， 。将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的解析式为，即。答案： 15如图，在四棱锥中， 底面， ，底面为矩形， 为线段的中点， ， ， ， 与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为_【答案】【解析】设DE交FG于N点，连接NM，则几何体CGDMN为两个棱锥的公共部分，因为G为AB的中点， M为FC的中点，取CD的中点P，DG的中点H，则PM/FD，PH/CG, 因为BE和平面ABCD所成角为，故 连接EF，易得 故答案为： 。三、解答题16在中，角, , 的对边分别为， ， ，已知， .（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理得到，故得到，已知正弦A，可求C的正弦。（2），根据三角形三个角的关系得到，代入已知三角函数值可求得，利用正弦定理得到。解：（1）， ， .， ， ，从而.（2）， 为锐角， ，.17设为数列的前项和， ，数列满足.（1）求及；（2）记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.【答案】（1）， ； （2）【解析】试题分析：（1）根据，可求数列的通项；（2）根据的前5项可知数列是有周期性的，故可以求出前5项的和，再乘以5即可.解：（1）当时， ，由于也满足，则.， ， ，是首项为3，公差为2的等差数列， .（2）， 的前5项依次为1，3,5,7,9.， 的前5项依次为3,5,7,9，1.易知，数列与的周期均为5，的前20项和为.18已知向量，函数.（1）若，求；（2）求在上的值域；（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.【答案】（1）或； （2）；（3）的图象关于直线对称.【解析】试题分析：（1）由可得，所以或。（2）化简得，由得，所以，可得函数的值域为。（3）根据题意可得，从而，然后验证，可得的图象是否关于直线对称。试题解析：（1），解得.又，或.（2）. ， . 函数在上的值域为.（3）由题意得，.， 函数的图象关于直线对称. 点睛：（1）解决函数的有关问题时，常用的方法是将看做一个整体去处理。（2）注意函数图象对称性的等价条件，即直线是函数图象的对称轴 。19如图,在三棱锥中, , 底面， ， ， ，且.（1）若为上一点，且，证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）正面面垂直，一般是找线面垂直平面平面，故得到面面垂直；（2）由向量的方法得到两个面的法向量，从而求得法向量的夹角，得到面面角。.（1）证明：由底面，得.又， ，故平面.平面，平面平面.（2）解： ，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， .设是平面的法向量，则，即令，得设是平面的法向量，则，即， 令，得.由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.20已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得到得， ，解得.（2）先求导，研究导函数的正负，当时， 无极值；当，即时，分析导数的正负使得极值，解出不等式即可。解：（1）， 得，由题意可得，解得.故， .（2）， 当时， 无极值；当，即时，令得；令得或. 在处取得极小值，当，即， 在（-3,2）上无极小值，故当时， 在（-3,2）上有极小值且极小值为，即.， ， .又，故.点睛:这个题目考查的是利用导数研究函数的极值；求导后出现二次函数形式，一般的讨论方法有：先看二次项系数是否为0，然后看能否因式分解，能分解的话，直接比较两根的大小，不能分解就由判别式和图像结合判断导函数的正负。21已知函数， .（1）当时，比较与的大小；（2）设，若函数在上的最小值为，求的值.【答案】（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先计算出的值，然后构造新函数，求导，利用单调性证明（2）由题可得，求导后取其最小值计算结果解：（1） ，构造函数， ，当时， ，在上单调递减，故当时， ，即，即 .（2）由题可得，则，由得到，设， ，当时， ；当时， .从而在上递减，在上递增.当时， ，即（或，设，证明亦可得到）.在上， ， 递减；在上， ， 递增.，解得.点睛：本题考查了导数的应用，要比较大小，则需要构造新函数，转化为函数问题，利用导数求得其单调性，然后再证明不等关系。注意化归转化的思想在处理题目过程中的运用。第 15 页 共 15 页