例谈解题中“主元思想”的应用在数学解题中常用到“主元思想”,所谓“主元思想”,即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视为“主元”,而将其余各字母视作参数或常量,来指导解题的一种思想方法.这一思想方法运用的核心是确定“主元”选择“主元”,在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”,等价于战斗中选择准了主攻方向.下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”:例1设不等式mx22x-m+10对满足m2的一切m都成立,求x的取值范围.分析1可以将原不等式化为(x2-1)m2x-1,采用分离变量法,视为主元,通过讨论x2-1的符号来求解.解答1(1)当x2-1=O即x=1时,成立2x-1O,x=1;(2)当x2-10即x-1或x1时,由式得m,由题意知2,由此得不等式组,解得1x;(3)当x210即-1x1时,由得m,由题意知-2,由此得不等式组,解得x1;综上可知:x.分析2视m为主元,将原不等式看成关于m的不等式,进而将不等式的左边看成关于m的函数,利用函数的性质解题.解答2设f(m)=(x2-1)m+1-2x,则m2时,恒有f(m)0,解得.点评上述两种解法都运用了“主元思想”,但从解题过程来看,视m为主元比视x为主元要简便得多.事实告诉我们,若能稍微改变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,优先考虑如何选择主元是十分必要的.例2设abcd是实数,且满足(a+b+c)22(a2+b2+c2)+4d,求证:ab+bc+ac3d.分析原不等式为关于abc的对称轮换式,若能证明abd,则同理可证bcd,acd,从而命题得证.三个变量在解题中具有等同地位,谁可以作为主元?由于题设中的不等式可变形为c2-2(a+b)c+a2+b2-2ab+4d0,从变形的结构形式看,此时可以视c为主元,构造函数f(x)=x2-2(a+b)x+a2+b2-2ab+4d,进而通过研究该函数的性质来帮助寻找与的不等关系.解答如分析中所设,易知f(x)是开口向上的抛物线,f(c)0,从而抛物线与x轴有交点,=4(a+b)2-4(a2+b2-2ab+4d)0,即 abd,同理,若分别视ab为主元,则可证得bcd,acd,ab+bc+ac3d,证毕.点评对于含有多个变量的等式或不等式,可以运用“主元思想”来指导对式子的整理和变形,从多个变元中选择出一个作为主元,可以使我们的研究目标更加清晰,以便于在纷繁复杂的关系中理出头绪.许多看似复杂困难的问题,运用这样的思想方法去求解,常常可以收到“避虚就实变繁成简,化难为易”的解题效果.最后给出两个问题留给读者作为练习:(1)已知abcR,a+b+c=0,abc=1,求证abc中至少有一个大于.(2)已知k=a+x=b+y=c+z,a,b,c,x,y,z均为正数,求证:ay+bz+cxk2.参考解答:(1)由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中,得-ac(a+c)=1ac2+a2c+1=0,将该式视C为未知数(主元)的方程,则=a4-4a0,a0,a,若在该式视a为主元,则可得c,故原命题成立.(2)由条件可知x=k-a,y=k-b,z=k-c,k0,abc (0,k),记f(a)=ay+bz+cx,则将x,y,z代入后得:f(a)=(k-b-c)a+bk+ck-bc(0ak),其中0b,ck,当b+ck时,f(a)f(o)=bk+ck-bc=k2-(k-b)(k-c)k2当b+ck时,f(a)f(k)=(k-b-c)k+bk+ck-bc=k2-bck2综上可知:f(a)k2,即ay+bz+cxk2.