2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。）（1）设函数则的零点个数（ ）01 23（2）函数在点处的梯度等于（ ） - （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）.（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.若收敛，则收敛.若单调，则收敛.（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）0.1.2.3. （7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ） . . . . （8）设随机变量，且相关系数，则（ ） . 二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）微分方程满足条件的解是. （10）曲线在点处的切线方程为.（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为.（12）设曲面是的上侧，则.（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则的非零特征值为.（14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则.三、解答题（1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)（本题满分10分）求极限.(16)（本题满分10分） 计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.(17)（本题满分10分）已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)（本题满分10分）设是连续函数，（I）利用定义证明函数可导，且；（II）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数. (19)（本题满分10分），用余弦级数展开，并求的和.(20)（本题满分11分），为的转置，为的转置.（I）证；（II）若线性相关，则.（21）（本题满分11分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，（I）求证（II）为何值，方程组有唯一解，求（III）为何值，方程组有无穷多解，求通解（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（I）求（II）求的概率密度（23）（本题满分11分） 设是总体为的简单随机样本.记， （I）证 是的无偏估计量.（II）当时 ，求.- 4 -