XX年春九年级数学下全册教案（北师大版）第二章二次函数1二次函数理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.阅读教材P2930，完成预习内容.知识探究一般地，形如yax2bxc的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.自学反馈下列函数中，不是二次函数的是A.y12x2B.y21c.y12D.y2x2判断二次函数要紧扣二次函数的定义.一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积S与半径r之间的关系式是S表4r2.活动1小组讨论例1若yx23是二次函数，则b的取值范围是b1.二次项系数不为0.例2一个正方形的边长是12c，若从中挖去一个长为2xc，宽为c的小长方形，剩余部分的面积为yc2.写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？解：y1222x，即y2x22x144.y是x的二次函数.当x2和4时，相应的y的值分别为132和104.相应的剩余部分的面积分别是132和104.几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.活动2跟踪训练如果函数yx22是y关于x的二次函数，则的值为多少？解：2不要忽视20.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABcD，设AB边长为x米，则菜园的面积y与x的函数关系式为y12x215x.已知，函数yx232x.为何值时，它是二次函数？为何值时，它是一次函数？注意要分情况讨论.解：4.1或3172或3212.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？2二次函数的图象与性质第1课时二次函数yax2的图象与性质能够用描点法作出函数yax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化.阅读教材P3235，完成预习内容.知识探究一般地，抛物线yax2的对称轴是y轴，顶点是，当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0，即2.只能取2.这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为，当x0时，y随x的增大而增大.若函数有最大值，则抛物线开口向下，20时，y随x的增大而减小.要结合图象来分析完成此题.活动2跟踪训练二次函数y2x2，当x1x20，则y1与y2的关系是y10时，y随x的增大而减小.二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.已知函数yax2经过点.求a的值；当x0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，表明将抛物线yax2向右平移h个单位；当0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；当a1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小.活动1小组讨论例1填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y5x2向下y轴y12x25向上y轴y32向下直线x4y427向上直线x2例2已知抛物线ya2，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y324，求原抛物线的解析式.解：抛物线y324的顶点坐标为，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为.故原抛物线的解析式为y322.抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化.活动2跟踪训练将抛物线y3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是y325.抛物线的移动主要看顶点位置的移动.若直线y3x经过、三、四象限，则抛物线y21的顶点必在第二象限.此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别.已知A、B、c在函数ya2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1y3y2.活动3课堂小结本节所学的知识：二次函数ya2的图象画法及其性质的总结；平移的规律.所用的思想方法：从特殊到一般.第4课时二次函数yax2bxc的图象与性质会用描点法画二次函数yax2bxc的图象.会用配方法求抛物线yax2bxc的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.能通过配方求出二次函数yax2bxc的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.阅读教材P3940，完成预习内容.知识探究用配方法将yax2bxc化成ya2的形式，则hb2a，4acb24a.则二次函数yax2bxc的图象的顶点坐标是，对称轴是直线xb2a，当xb2a时，二次函数yax2bxc有最大值，当a0时，函数y有最小值，当a4.2.这辆卡车能通过该隧道.点拨：解决这类问题的关键是根据已知条件在已建立的平面直角坐标系中求出各点坐标，再结合函数解析式，利用方程去解决问题.活动2跟踪训练如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是9米.一位运动员推铅球，球行进的高度y与水平距离x之间的关系是y112x223x53，此运动员能把铅球推出10.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线yx24x的一部分.则水喷出的最大高度是4米.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第3课时利用二次函数解决利润问题能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能求二次函数的最值.阅读教材P4849，完成预习内容.知识探究利用二次函数的知识解决最大利润问题的一般步骤是：寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系，并用字母表示这两个变量；用自变量的代数式表示相关的量；用关系式表示这个等量关系；利用二次函数的知识解决实际问题.常用公式：利润销售量单个商品的利润；利润率利润进价100%.自学反馈某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y与价格x之间满足一次函数关系.试求y与x之间的函数关系式；当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？解：y10000x80000.当销售定价为6元时，每月利润最大，最大利润为40000元.根据数量关系列出函数关系式；先建立二次函数模型，将二次函数解析式转化为顶点式，再求最值.注意自变量需符合实际意义.活动1小组讨论例某经销店为某工厂代销一种建筑材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x，该经销店的月利润为y.当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；求出y与x的函数关系式；该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.解：45260240107.560.y.化简，得y34x2315x24000.y34x2315x240003429075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.我认为，小静说得不对.理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额x34219200.当x为160元时，月销售额最大.当x为210元时，月销售额不是最大的.小静说得不对.要分清利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别.活动2跟踪训练某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元.设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；设宾馆一天的利润为元，求与x的函数关系式；一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：y50x10.110x234x8000.一天订住34个房间时，宾馆每天的利润最大，最大利润为10880元.活动3课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.阅读教材P5152，完成预习内容.知识探究二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2bxc0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2bxc0的根.自学反馈抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0，即2420，解得98.根据交点的个数来确定b24ac的正、负是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系.活动2跟踪训练画出函数yx22x3的图象，根据图象回答：方程x22x30的解是什么？x取什么值时，函数值大于0；x取什么值时，函数值小于0?解：x11，x23；当x3时，函数值大于0；当10只有一个公共点有两个相等的实数根b24ac0无公共点无实数根b24ac0第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.阅读教材P5355，完成预习内容.知识探究用图象法估计一元二次方程ax2bxc根的近似值的一般步骤：将方程化