第五章 插值法,5-1,第五章,插值法 （下）,第五章 插值法,5-2,3 Hermite插值,不少实际问题不但要求插值 函数在节点上与原来的函数相等 （满足插值条件），而且还要求 在节点上的各阶导数值也相等， 满足这种要求的插值多项式，称 为Hermite插值多项式记为H(x)， 本节主要讨论已知节点的函数值 和一阶导数的情形。,第五章 插值法,5-3,3.1 Hermite插值,设已知函数y = f (x)在n +1个互异节点x0,x1,xn上的函数值yi = f (xi) (i=0,1,2,n)和导数值yi = f (xi)(i=0,1,2,n)，要求一个不超过2n+1次 的多项式H(x)，使其满足：,这样的H(x)称为 Hermite插值多项式。,第五章 插值法,5-4,引例（续1）,第五章 插值法,5-5,引例（续2）,第五章 插值法,5-6,引例的误差估计：,注意到x1是H(x)的二阶零点， x0,x2为其一阶零点， 所以：,为确定(x)，作辅助函数：,当t = x时，可选择(x)，使(x)=0t = x, x0,x2为(t)的一阶零点，t = x1为二重零点。因此(t)共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在x，使(4)(x)=0，即 ：,由于H(t)是t 的三次多项式， H (4)(x)=0,第五章 插值法,5-7,推广至n+1个点,推广至n+1个点的 yi , yi时，利用构造插值基函数的方法， 照上述引例，可设：,其中hi(x)和Hi(x) (i=0,1,2,n) 满足： （1）hi(x), Hi(x)(i=0,1,2,n)都是不超过2n+1次的多项式 ；,下面分别确定hi(x)和Hi(x)：,第五章 插值法,5-8,下面分别确定hi(x)和Hi(x)：,对hi(x)：x = xj(ji) 为其二重零点，故应含有因式 (xxj)2 ( ji)，因此可以设为,请注意：直观上应设hi(x)为：,这样来确定a,b较麻烦，上述引入li(x)后，较简单。 hi(x)还应满足：,第五章 插值法,5-9,对Hi(x):,对Hi(x) :由于 x = xj(ji)为其二 重零点，xi为一重 零点，故可设 :,这样，代回去得:,特别地，当n =1时，有:,第五章 插值法,5-10,两个节点的三次Hermite插值多项式,因此n =1的三次Hermite插值多项式可用标准化 的基函数表示为：,更便于上机使用，上式中h = x1-x0。,通常称之为 “标准化”的基函数， 而上述三次Hermite 插值基函数可由其 表示出：,第五章 插值法,5-11,3.2 误差估计,和引例类似，可导出Hermite插值的误差估计。,定理5.2,设x0,x1,xn为区间a, b上的互异节点，H(x)为f (x)的过这组节点的2n+1次Hermite插值多项式。若f (x)在a,b上2n+2连续可导，则对xa, b插值余项为：,特别地，n =1的三次Hermite插值余项为：,注意与引例的误差估计式，与Lagrange插值的误差 估计式相比较。,第五章 插值法,5-12,定理5.3,设x0,x1,xn为区间a, b上互异节点，f (x) C(1)a, b，则上述Hermite插值多项式是唯一的。,定理5.3,推论1：不超过2n+1次的多项式在任意n +1个互异节点上 的Hermite插值多项式就是其自身。,对于推论2，事实上，可令f(x)=1，f (xi)=0， (i=0,1,n)，显然 满足这组插值条件，即得结论。, H(x)为不超过2n+1次多项式， H(2n+2)(x)0 于是H(x) H(x) 0这表明Hermite插值多项式是唯一的。,第五章 插值法,5-13,Hermite插值举例,例6,按下表求Hermite插值：,第五章 插值法,5-14,Hermite插值举例（续）,例7,设：已知函数f (x)的如下值:f(-1)=-2，f(0)=-1，f(1)=0，f (0)=0，求不超过3次的Hermite插值多项式H (x),第五章 插值法,5-15,3.3 Hermite插值的一般形式,求一个不超过n+m+1次的多项式H (x)使得:,与前面的讨论类似，可以证明这样的Hermite插值多项式 是唯一存在的，其余项为:,这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全 部给出，与前面引例相似，举例说明方法。,第五章 插值法,5-16,Hermite插值一般形式（举例）,例8,按下表求Hermite插值多项式：,解法一：这里有5个条件，所以插值多项式不超过4次，用 构造插值基函数hi(x)(i=0,1,2)和Hi(x)(i=0,1)的方法，它们分 别应满足：,第五章 插值法,5-17,例8（解法2）,解法2： x = 0为二阶零点，故可设插值多项式为,代入条件：,所求四次Hermite插值多项式为：,解法3:还可直接设五次方程求解,第五章 插值法,5-18,4 多项式插值的缺陷与分段插值,4.1 多项式插值的缺陷,在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度， 常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插 值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼 近程度也越来越好呢？一般总认为Ln(x)的次数n越高， 逼近f (x)的程度越好，实际上并非如此。因为： （1）节点的增多固然使插值函数Ln(x)在更多的地方 与f (x)相等，但另一方面在两个插值节点之间Ln(x)不 一定能很好地逼近f (x)，有时差异还很大，即高次插 值收敛性得不到保证。 （2）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严 重的误差积累，即稳定性得不到保证。 下面分别举例说明。,第五章 插值法,5-19,多项式插值的缺陷举例,例如， 在区间-1,1上给定函数f(x)=1/(1+25x2)，并将区 间-1,1分为n等分，以Pn(x)表n+1个节点的n次插值多项式， 图5-4给出了f (x)及P10(x)的图象，从中可以看出，P10(x)在 端点附近，误差很大，如f(0.95)=0.24244，而P10(0.95) =1.92363，并且还可画出P4(x)相比较，P10(x)在区间中间能 较好地逼近f (x)，比P4(x)好得多，但在端点附近P10(x)的波 动很大，可以证明：Pn(x)只在|x|0.726内收敛于f (x)。 在0.726|x|1内Pn(x) 与f (x)偏离很大，不收 敛于f (x)。高次多项式 插值产生的这种不收敛 现象称为龙格（Runge） 现象 。,第五章 插值法,5-20,多项式插值的缺陷举例（续1）,再以Lagrange插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据yi误差yi，假定计算过程中不再产生误 差，此时，Lagrange插值多项式为：,故插值的实际误差为：,上式中右端第一项即为 插值余项，而第二项为：,这就是节点数据的误差yi所引起的插值误差。可见，yi 通过插值基函数li(x)而全面扩散，而插值基函数li(x)在基本 插值区间x0,xn内是上下波动的，在区间外，则按距离的n 次幂放大，如图5-5所示。当变大时，其波动频率与振幅也 随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其 放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。,（紧接下屏）,第五章 插值法,5-21,多项式插值的缺陷举例（续2）,实际上在以Ln(x)近似f (x)时，由误差估计式：,第五章 插值法,5-22,几点启示,（3）因为高次插值不能用，而实际情况需要将给定的节点全部都用上( 区间长度所需要），此时常采用分段低次多项式插值。,以上分析给我们几点启示：,（1）增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函 数 Ln(x)能很好地逼近f (x)，即高次插值（如7，8次上） 在 实际应用中很少被采用。,（2）插值多项式逼近f (x)时，当f (x)为多项式 时效果非常好，误差为零，而上述Runge现象中f (x)为有理函数，能否寻求用有理分式（而不用多项式）作插值函数。,第五章 插值法,5-23,启示（4）,（4）由于高次插值可能不收敛，若要精度高，能否考虑寻找一新的逼近函数P (x)，它不是插值函数（不满足插值条件），但却仍然是一简单函数，比如仍为多项式，但P (x)在xi处不一定等于f (x)，而是要求 在整个区间上每一点处P (x)都能在误差允许范围内逼近f (x)，比如 要求其在节点xi处的偏差ri = P(xi)yi(i = 0,1,2,n)按某种标准最小以反映所给数据的总体趋势，消除局部波动的影响。,由于高次插值不能用而引出了上面几点讨论，对出现的 问题进行分析而导致新的方法，新理论的产生，这也正我们在后面学习中的新起点。,第五章 插值法,5-24,4.2 分段多项式插值,在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低 次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分 段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直 接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一 类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段 插值多项式，如样条插值。 下面介绍几种简单分段插值：,以下几种分段插值都设为：,第五章 插值法,5-25,1、分段线性插值,已知yi = f(xi) (i = 0,1,n)，在每个子区间xi,xi+1上分 别作线性插值(i = 0,1,n1) 。,P1(x)在a, b上为分段一次多项式，它满足插值条件： P1(xi)= yi(i = 0,1,n)，在节点处连续，P1(x)的图形为一折 线，如图5-6，其几何意义就是用折线去逼近曲线f (x)。,第五章 插值法,5-26,2、分段抛物插值,P2(x)为a, b上的分段二次多项式，它满足插值条件P2(xi)= yi (i = 0,1,n)，在节点x2k处连续。,第五章 插值法,5-27,3、分段三次Hermite插值,已知 yi = f (xi)，yi = f (xi) (i = 0,1,2,n)，在每 个子区间xi,xi+1上作Hermite插值，由3中式(5-21) 可得：,其中hi = xi+1 xi，0(x) = (1+2x)(1x)2, 1(x) =x (1x)2, 显然分段三次Hermite插值多项式H (x)满足插值条件 H(xi)=yi,H (xi)= yi (i = 0 1,2,n)，在节点处一阶导数连 续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。,第五章 插值法,5-28,4. 分段插值的余项及收敛性和稳定性,（1）插值余项 利用插值余项结果可得分段线性插值多项式P1(x)在 子区间xi,xi+1上的余项估计式。,而在整个插值区间a,b上：,同理可得对分段三次Hermite插值多项式H (x)在xi,xi+1上：,在a, b区间上：,第五章 插值法,5-29,例9,构造函数y = ln x在x1,10上的等距数表，应如何 选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值 时，使误差不超过10-6/2。,例9,第五章 插值法,5-30,分段插值的余项及收敛性和稳定性（续）,（2）收敛性 设f (x)在a, b上连续，则可以证明， 当h0时，上述分段插值多项式P1(x)， P2(x)，H (x)等都一致收敛于f (x)。 （3）稳定性 简单分段插值具有突出的局部性质， 其每个节点至多只影响到直接衔接的两 个子区间而不远及，因而，节点的数据 误差基本上不扩散，不放大。所以，简 单分段插值具有高度的数值稳定性。,第五章 插值法,5-31,5 样条插值,分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地 避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，满足不了许多工程技术提出