,1.5 定态薛定谔方程的解 一维无限深势阱与线性谐振子,本节首先讨论波函数的标准条件，然后利用,（2）波函数归一化条件；,（1）定态薛定谔方程；,（3）波函数的标准条件；,一维无限深势阱中运动的粒子与线性谐振子的能级和波函数。,最后介绍 “一维束缚定态的无简并定理”,波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概率波的振幅。在数学上应满足：,1.5.1 波函数的标准条件,1. 单调性；,2. 有限性；,3. 连续性；,1. 单调性；,2. 有限性；,这是指 应该是 ，t 的单值函数。因为 是t时刻在 处发现粒子的概率密度，即要求 为单值函数，但不要求 是单值函数。,在有限的空间范围内发现粒子的概率有限,3. 连续性；,定态薛定谔方程包含 对坐标的二阶导数， 要求 及其对坐标的一阶导数连续。,1.5.2 一维无限深势阱,设质量为 的粒子在势场中运动,用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：,1. 写出分区的定态薛定谔方程；,2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；,3. 有波函数标准条件确定参数k；,4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；,5. 由参数k得粒子的能量E；,6. 解的物理意义。,1. 写出分区的定态薛定谔方程；,当势壁无限高是，不可能在势阱外发现能量有限的粒子，故阱外波函数为0,势阱内定态薛定谔方程为：,2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；,令,由此得到0xa区间内的解：,3. 有波函数标准条件确定参数k；,由势阱外波函数：,当n0的线性相关，舍去,当k=0;,4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；,取A为实数，则,（1.5.11）,（1）束缚态与离散能级,6. 解的物理意义。,由,可以知道，粒子不可能达到无穷远处,粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态,粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态,一般情况下束缚态的能谱为离散谱,（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现,在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确定的坐标值和动量为零。,在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。,（3）激发态的能级,能级分别不均匀。,当量子n数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失，并过渡到经典情况。,（4）激发态的能级,（5）薛定谔方程的解的线性组合,在一维无限深势阱中粒子可能的态：,定态：,线性叠加态：,粒子处于定态的概率为：,1.5.3 线性谐振子,经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能,量子力学中把在势 场 中运 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线,（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。,讨论谐振子的意义：,（2）复杂的振动可以分解为相互独立的谐振动动；,（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、粒子表象和电磁场量子化。,（1）许多物理体系的势能曲线可以近似看作抛物线，双原子分子的势能曲线在稳定平衡点a附近的势能曲线。,线性谐振子的哈密顿量,线性谐振子的哈密哈密顿算符,故，定态薛定谔方程为,薛定谔方程的解题步骤：,1.引入参数简化方程,引人,则，定态薛定谔方程可化为,(1.5.21),代入,（2）用幂级数解法求解厄米方程的,代入方程，得,其系数递推公式,（3）波函数的有限性要求级数 中断为多项式。,由于级数在无穷远的行为取决于级数相邻两项系数之比在 时的极限为：,级数 相邻两项系数之比在 的极限也为：,当 很大时， 的行为与 相同,代入,得线性谐振子的波函数：,归一化常数,4. 由参数 得粒子能量E,即从量子力学基本假设（薛定谔）方程出发，导出了普朗克的能量子假设。,振子的能量取离散值,5. 解的物理意义,(1)谐振子的能量取离散值；,(2)谐振子相邻能级的间隔 均匀分布；,(3)谐振子的基态能量 是一个量子效应，当原子发生自发辐射，从高能态跃迁到地能态，实际上是电磁场的真空态与电子相互作用结果；,（4）线性谐振子的能级是无简并的；,（5）谐振子波函数的宇称为,由（1.5.30）式可得， ，可见波函数 的奇偶性由n决定，通常称谐振子波函数 的宇称为,（6）与经典谐振子的比较,经典力学里，粒子在 范围内出现的概率,X=0速度最小，出现概率最大,量子谐振子空间位置概率分布特点：,a、在原点发现粒子的概率要么极大（n为偶）,b、可以在经典禁区发现粒子（势垒穿透效应）。,d、当量子数n越大时，其概率分布与经典概率分布越接近（b）图,1.5.4 一维束缚定态无简并定理,再见,