,第二节 二重积分的计算（2）极坐标下二重积分的计算,1、为什么引入极坐标计算2、怎样把二重积分从直角坐标化到极坐标下计算3、极坐标下如何划二重积分为二次积分,D: x1(y) x x2(y) c y d,I =,x2(y),x1 (y),c,d,y,一、 复习二重积分计算的两种积分顺序,D,c,d,y,D,x2(y),x1 (y),I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,c,d,y,D,D: y1(x) y y2(x) a x b,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,I =,二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,二、为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,需使用极坐标系！,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,三、怎样利用极坐标计算二重积分,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线: =常数；r =常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,三、怎样利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,.,三、怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,极点不在区域 D 的内部,r,怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤：1 从D的图形找出 r, 上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,.,极点不在区域 D 的内部,r,极点位于区域 D 的内部,0,D,r,D:,怎样利用极坐标计算二重积分(2),r,D:,D,0,怎样利用极坐标计算二重积分(2),.,极点位于区域 D 的内部,r,D:,.,D,0,步骤：1 从D的图形找出 r, 上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；3 面积元素dxdy化为rdrd,怎样利用极坐标计算二重积分(2),.,极点位于区域 D 的内部,r,总结：把二重积分的变量从直角坐标化到极坐标下计算的步骤,1、化边界曲线为极坐标系下表示的方程， 并画出积分区域的图形2、根据积分区域的图形找出r, 上、下限3、化被积函数为极坐标形式；面积元素dxdy 化为rdrd4、划二重积分为二次积分,2a,.,.,解,例1,.,此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！,2,1,D,D:,变换到极坐标系,.,.,例2,计算,D: =1和 =2 围成,2R,区域边界：,x = 0,.,即 r =2Rsin,r =2Rsin,例3.,.,1,2,y =x,D,.,.,.,例4,4,r = 4 cos,r = 8 cos,8,D,1,2,例5.,计算,y = 2x,x = y,0,y,x,r = 8 cos,D,4,8,.,r = 4 cos,2,1,.,例6 计算,I =,例7 将积分化为极坐标形式,r =R,y = R x,D1,D2,.,.,R,D,.,.,.,arctanR,.,I =,I =,解,解,解,解,解,总结：什么时候用极坐标来计算二重积分?,当积分区域的边界用极坐标表示比较简单（圆域、扇形区域等）被积函数用直角坐标无法计算时（如没有初等形式的原函数）,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,二、小结,能否采用另一种积分次序，即先 后 r 积分，怎样来找上下界？,思考,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,作业,P155、13、15、16、17,