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线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式2.特殊行列式12121212112 nnnntppppnnaaDa121222120tnnnnaaaa ,1212nn 1122nn3.行列式的性质定义 记 , ,行列式 称为行列式121212nnnaaD 121212nTnnaD TD的转置行列式。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。性质 2 互换行列式的两行 或列 ,行列式变号 。 ijrijc推论 如果行列式有两行(列)完全相同(成比例) ,则此行列式为零。性质 3 行列式某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 ,等于用数 乘此行列()jkrk式;推论 1 的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到 的外面;DD推论 2 中某一行(列)所有元素为零,则 。=0性质 4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则1211212()()innninaa 1211212 21 1ininnninniaaa 性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去,行列式的值不变。计算行列式常用方法:利用定义;利用运算 把行列式化为上三角形行列式,从 ijrk而算得行列式的值。4. 行列式按行(列)展开余子式 在 阶行列式中,把元素 所在的第 行和第 列划去后,留下来的 阶行列nijaij 1n式叫做元素 的余子式,记作 。ijaijM代数余子式 ,叫做元素 的代数余子式。1ijijiA记 ija引理 一个 阶行列式,如果其中第 行所有元素除(i,j) 元外 都为零,那么n (,)ijija这行列式等于 与它的代数余子式的乘积,即 。ijaijDaA(高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成 0,保留一个非零元素,降阶)定理 阶行列式 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应n121212 nnnaD的代数余子式的乘积之和,即 ,12iiinaAaA (1,2)in, 。12jjnjaA或 (,)j第二章 矩阵1.矩阵行列式是数值,矩阵是数表, 各个元素组成12121nmmnaaA 方阵 :行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作:A n。行(列)矩阵:只有一行(列) 的矩阵。也称行( 列)向量。同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。相等矩阵:AB 同型, 且对应元素相等。记作:AB零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同)对角阵:不在主对角线上的元素都是零。单位阵:主对角线上元素都是 1,其它元素都是 0,记作: E注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运算矩阵的加法11212 212nmmnmababAB 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律;1AB2ABC, 称为矩阵121213,() nij ijmnmn mmnaaa 设 矩 阵 记 A的A负 矩 阵。40,ABA数与矩阵相乘 12121, nmmnaaAAA 数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为数乘矩阵的运算规律(设 为 矩阵, 为数)B、 mn,; ; 。1A2A3AB矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵,那么规定矩(b)ijBms(b)ijsn阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 矩阵 ,其中n(c)ijC,121212jiisijijisjjbaaba 1sikjb,2;1,imjn ,并把此乘积记作 CAB注意1。 A 与 B 能相乘的条件是:A 的列数B 的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下, ,而且两个非零矩阵的AB乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B,若 AB=BA,则称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律; 1ABC2, 3ABCA4mnmnEA若 A 是 n 阶方阵,则称 Ak 为 A 的 k 次幂,即 ,并且 ,5 k个 kmk。规定:A 0E (只有方阵才有幂运算)kmA,为 正 整 数注意矩阵不满足交换律,即 , (但也有例外)BkkAB转置矩阵 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 ,A; ; ; 。1TA2TTAB3TA4TB方阵的行列式 由 阶方阵 的元素所构成的行列式,叫做方阵 的行列式,记作n A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表,而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。; ;1TA2nA(3)ABAB对称阵 设 A 为 n 阶方阵,如果满足 A=AT ,那么 A 称为对称阵。伴随矩阵 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵ij称为矩阵 A 的伴随矩阵。121212nnnA 性质 (易忘知识点)E总结(1 )只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。(2 )只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。(3 )矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵:ABBA E , 则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。1AB即说明1 A ,B 互为逆阵, A = B-12 只对方阵定义逆阵。 (只有方阵才有逆矩阵)3.若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的。定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 ,并且当 A 可逆时,有 (重要)01*A奇异矩阵与非奇异矩阵 当 时, 称为奇异矩阵,当 时, 称为非奇异0矩阵。即 。0可 逆 为 非 奇 异 矩 阵求逆矩阵方法 *1(1)|2(3)|A先 求 并 判 断 当 时 逆 阵 存 在 ;( ) 求 ;求 。初等变换的应用 :求逆矩阵: 。1(|)|AEEA 初 等 行 变 换逆矩阵的运算性质111,A若 可 逆 则 亦 可 逆 且。120,AA若 可 逆 数 则 可 逆 且。 113, ,BBB若 为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 则 亦 可 逆 且 ()。14,TTTAA若 可 逆 则 亦 可 逆 且。15,若 可 逆 则 有3.矩阵的初等变换初等行(列)变换。1()ijr对 调 两 行 , 记 作。20()ik rk以 数 乘 以 某 一 行 的 所 有 元 素 , 记 作。3 ()ijk rk把 某 一 行 所 有 元 素 的 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 , 记 作初等列变换:把初等行变换中的行变为列,即为初等列变换,所用记号是把“r”换成“c” 。矩阵等价 ABAB如 果 矩 阵 经 有 限 次 初 等 变 换 变 成 矩 阵 , 就 称 矩 阵 与 等 价 。行阶梯形矩阵:可画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也是非零行的第一个非零元。 (非零行数及矩阵的秩)R(B)=3.034521的 秩求 矩 阵 B行最简形矩阵:行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1,且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.标准型:对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如 的矩阵,rmnEOF称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用求逆矩阵: 或 。1(|)|AEE 初 等 行 变 换 1EA 初 等 列 变 换4. 矩阵的秩矩阵的秩 任何矩阵 ,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形mn矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 (非零行的行数即为矩阵的秩)说明1. 矩阵 Amn,则 R(A) minm,n;2. R(A) = R(AT);3. R(A)r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零; 4. R(A)r 的充分必要条件是所有 r + 1 阶子式都为零 .满秩和满秩矩阵 矩阵 ,若 ,称 A 为行满秩矩阵;若ijmnAa()R,称 A 为列满秩矩阵; 。()n,n若 为 阶 方 阵 且 则 称 为 满 秩 矩 阵()n若 阶 方 阵 满 秩 , 即0A;1必 存 在 ;A为 非 奇 异 阵 ; ,.nnEA必 能 化 为 单 位 阵 即矩阵秩的求法定理 1 矩阵 A 经过有限次行( 列)初等变换后其秩不变。即若 AB,则 R(A)=R(B)。推论 ()PQRPA若 、 可 逆 , 则矩阵秩的性质总结(1)0()min,RA(2)()TR3, BB若 则 )(PQPAR4若 、 可 逆 , 则(5)ax(),(,)()(,()1.RARAbb特 别 当 为 非 零 列 向 量 时 , 有(6)()B7min,.RARB(8),().mnlABORABn若 则。9=O设 , 若 为 列 满 秩 矩 阵 , 则 ( 矩 阵 乘 法 的 消 去 率 )第三章1. n 维向量 n 个数 a1,a2,an 组成的一个有序数组(a 1,a2,an) 称为一个 n 维向量,记为,其中第 i 个数 ai 称为向量12 12()(,). Tnna列 向 量 形 式 或 ( 行 向 量 形 式 )的第 i 个分量。向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。设矩阵 A=(aij)mn 有 n 个 m 维列向量,即 ,12112212jnjmmjnAaa 。同理,也可说矩阵 A 有 m 个行向量组组成。12na,向 量 组 称 为 矩 阵 的 列 向 量 组向量,向量组,矩阵与方程组的关系向量组 矩阵:12 (,)mA向量方程 方程组: ,1112 122 2nn1n2 n.mmaabxx可简写作 12nxx向量方程 方程组 矩阵形式1212 (,)mnxbAxb 线性组合 给定向量组 和向量 b,如果存在一组数 使12:,m 12,m, ,则向量 b 是向量组 A 的线性组合,这时称 b 向量能由向量组12mbA 线性表示。定理 1 向量 b 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵12:,mA的秩等于矩阵 的秩。即 R(A)=R(A,b)。2(,)ma (,b)Ba向量组的线性表示 设有两个向量组 ,若 B 组中每1212:,:,msAB 及个向量都能由向量组 A 线性表示,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示,若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示,则称这两个向
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