线性代数知识点总结第一章 行列式1. n 阶行列式2.特殊行列式12121212112 nnnntppppnnaaDa121222120tnnnnaaaa ，1212nn 1122nn3.行列式的性质定义 记 ， ，行列式 称为行列式121212nnnaaD 121212nTnnaD TD的转置行列式。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。性质 2 互换行列式的两行 或列 ，行列式变号 。 ijrijc推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例） ，则此行列式为零。性质 3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列()jkrk式；推论 1 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 的外面;DD推论 2 中某一行（列）所有元素为零，则 。=0性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1211212()()innninaa 1211212 21 1ininnninniaaa 性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从 ijrk而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）展开余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列nijaij 1n式叫做元素 的余子式，记作 。ijaijM代数余子式 ，叫做元素 的代数余子式。1ijijiA记 ija引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除（i，j） 元外 都为零，那么n (,)ijija这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 。ijaijDaA（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成 0，保留一个非零元素，降阶）定理 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应n121212 nnnaD的代数余子式的乘积之和，即 ，12iiinaAaA (1,2)in， 。12jjnjaA或 (,)j第二章 矩阵1.矩阵行列式是数值，矩阵是数表， 各个元素组成12121nmmnaaA 方阵 ：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作：A n。行(列)矩阵：只有一行(列) 的矩阵。也称行( 列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型, 且对应元素相等。记作：AB零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作： E注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运算矩阵的加法11212 212nmmnmababAB 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律；1AB2ABC， 称为矩阵121213,() nij ijmnmn mmnaaa 设 矩 阵 记 A的A负 矩 阵。40,ABA数与矩阵相乘 12121, nmmnaaAAA 数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为数乘矩阵的运算规律（设 为 矩阵， 为数）B、 mn,； ； 。1A2A3AB矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩(b)ijBms(b)ijsn阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 矩阵 ，其中n(c)ijC，121212jiisijijisjjbaaba 1sikjb,2;1,imjn ，并把此乘积记作 CAB注意1。 A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数B 的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， ，而且两个非零矩阵的AB乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律； 1ABC2， 3ABCA4mnmnEA若 A 是 n 阶方阵，则称 Ak 为 A 的 k 次幂，即 ，并且 ，5 k个 kmk。规定：A 0E （只有方阵才有幂运算）kmA,为 正 整 数注意矩阵不满足交换律，即 ， （但也有例外）BkkAB转置矩阵 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 ，A； ； ； 。1TA2TTAB3TA4TB方阵的行列式 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作n A注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。； ；1TA2nA(3)ABAB对称阵 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A=AT ，那么 A 称为对称阵。伴随矩阵 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵ij称为矩阵 A 的伴随矩阵。121212nnnA 性质 （易忘知识点）E总结（1 ）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2 ）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3 ）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵：ABBA E ， 则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。1AB即说明1 A ，B 互为逆阵， A = B-12 只对方阵定义逆阵。 （只有方阵才有逆矩阵）3.若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的。定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 ，并且当 A 可逆时，有 （重要）01*A奇异矩阵与非奇异矩阵 当 时， 称为奇异矩阵，当 时， 称为非奇异0矩阵。即 。0可 逆 为 非 奇 异 矩 阵求逆矩阵方法 *1(1)|2(3)|A先 求 并 判 断 当 时 逆 阵 存 在 ；（ ） 求 ；求 。初等变换的应用 ：求逆矩阵： 。1(|)|AEEA 初 等 行 变 换逆矩阵的运算性质111,A若 可 逆 则 亦 可 逆 且。120,AA若 可 逆 数 则 可 逆 且。 113, ,BBB若 为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 则 亦 可 逆 且 ()。14,TTTAA若 可 逆 则 亦 可 逆 且。15,若 可 逆 则 有3.矩阵的初等变换初等行（列）变换。1()ijr对 调 两 行 ， 记 作。20()ik rk以 数 乘 以 某 一 行 的 所 有 元 素 ， 记 作。3 ()ijk rk把 某 一 行 所 有 元 素 的 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 ， 记 作初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“c” 。矩阵等价 ABAB如 果 矩 阵 经 有 限 次 初 等 变 换 变 成 矩 阵 ， 就 称 矩 阵 与 等 价 。行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 （非零行数及矩阵的秩）R(B)=3.034521的 秩求 矩 阵 B行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 的矩阵，rmnEOF称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用求逆矩阵： 或 。1(|)|AEE 初 等 行 变 换 1EA 初 等 列 变 换4. 矩阵的秩矩阵的秩 任何矩阵 ，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形mn矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 （非零行的行数即为矩阵的秩）说明1. 矩阵 Amn，则 R(A) minm,n;2. R(A) = R(AT);3. R(A)r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零; 4. R(A)r 的充分必要条件是所有 r + 1 阶子式都为零 .满秩和满秩矩阵 矩阵 ，若 ，称 A 为行满秩矩阵；若ijmnAa()R，称 A 为列满秩矩阵； 。()n,n若 为 阶 方 阵 且 则 称 为 满 秩 矩 阵()n若 阶 方 阵 满 秩 ， 即0A；1必 存 在 ；A为 非 奇 异 阵 ； ,.nnEA必 能 化 为 单 位 阵 即矩阵秩的求法定理 1 矩阵 A 经过有限次行( 列)初等变换后其秩不变。即若 AB，则 R(A)=R(B)。推论 ()PQRPA若 、 可 逆 ， 则矩阵秩的性质总结(1)0()min,RA(2)()TR3, BB若 则 )(PQPAR4若 、 可 逆 ， 则(5)ax(),(,)()(,()1.RARAbb特 别 当 为 非 零 列 向 量 时 ， 有(6)()B7min,.RARB(8),().mnlABORABn若 则。9=O设 ， 若 为 列 满 秩 矩 阵 ， 则 （ 矩 阵 乘 法 的 消 去 率 ）第三章1. n 维向量 n 个数 a1,a2,an 组成的一个有序数组(a 1,a2,an) 称为一个 n 维向量,记为，其中第 i 个数 ai 称为向量12 12()(,). Tnna列 向 量 形 式 或 （ 行 向 量 形 式 ）的第 i 个分量。向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。设矩阵 A=(aij)mn 有 n 个 m 维列向量，即 ，12112212jnjmmjnAaa 。同理，也可说矩阵 A 有 m 个行向量组组成。12na,向 量 组 称 为 矩 阵 的 列 向 量 组向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组 矩阵：12 (,)mA向量方程 方程组： ，1112 122 2nn1n2 n.mmaabxx可简写作 12nxx向量方程 方程组 矩阵形式1212 (,)mnxbAxb 线性组合 给定向量组 和向量 b，如果存在一组数 使12:,m 12,m， ，则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称 b 向量能由向量组12mbA 线性表示。定理 1 向量 b 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵12:,mA的秩等于矩阵 的秩。即 R(A)=R(A,b)。2(,)ma (,b)Ba向量组的线性表示 设有两个向量组 ，若 B 组中每1212:,:,msAB 及个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示，若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向