课件,1,4.3 泰勒级数,上节看到，一个幂级数在其收敛圆内具有解析的和函数，即，它在收敛圆内代表一个解析函数。,反过来，对于圆内解析的函数是否可以展开为级数呢？,定理4.7,泰勒展开式,D,课件,2,证明思路：,根据定理前提条件,知,课件,3,课件,4,（2） 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|.,注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理4.8】(采用反证 法证明）,课件,5,（1）直接展开法,利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:,把 f (z)在z0展开成幂级数。,课件,6,例1：,类似地，,解：,课件,7,（二）间接展开法,借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,课件,8,两式相乘得，,解：,课件,9,（方法二 待定系数法）,那么，,同次幂系数相等，,课件,10,解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数.,课件,11,对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算相应的泰勒展开式。,ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.,解：,课件,12,逐项积分得,课件,13,而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数,1-z2+z4-,它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.,课件,14,课件,15,4.4 罗朗级数,一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.,例：,课件,16,课件,17,4.4.1 罗朗级数的概念,定义4.6,课件,18,在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.,幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数,现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?,课件,19,注:,(1)罗朗级数在形式上与泰勒级数类似,它的证明也是类似的.,(2)一般地,即使正幂项的系数也不能利用高阶导数形式表示.,课件,20,此时,罗朗级数退化为泰勒级数。,柯西基本定理,高阶导数公式,（4）唯一性,课件,21,解：因为,课件,22,解：,讨论的圆环域以 i圆心，,课件,23,所以，,（但,不能得到相应的级数形式。）,课件,24,所以，,课件,25,0,-2,解：,课件,26,所以，,课件,27,所以，,课件,28,所以，,