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泉港区天竺中学 郑忠山,平行四边形的应用 动点问题,引言,动点问题常见的类型有: 单动点型、双动点型及多动点型,本节课重点来探究平行四边形的应用之动点问题,图形中的点、线运动,构成了数学中的一个新问题-动态几何。该题型常常集几何、代数知识于一体,渗透数学思想方法,特别是方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的运用,有较强的选拔功能,故为近年的热点中考压轴题它通常分为三种类型:动点问题、动线问题、动形问题。,如何解动点型问题?,知识回顾,(1)平行四边形的性质:,(2)平行四边形的判定:,平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点,平行四边形的对边平行且相等,平行四边形的对角相等、邻角互补,平行四边形的对角线互相平分,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,对称性 边 角 对角线,边 角 对角线,例1、已知:在四边形ABCD中,ADBC,ABAD, 点Q是BC边上一定点,AD=12cm,CQ=2cm,点P从点A出发沿AD边以1cm/s的速度向D运动.设运动时间为t秒,则当t=_秒时,四边形PQCD是平行四边形?,分析: 这是一道单动点型的动点问题 (1)AP=_;PD=_. (用含t的代数式表示) (2)若四边形PQCD是平行四边形, 只需条件:_ 因此可列方程:_,t,12-t,PD=CQ,12-t=2,10,解题策略:动中求静,化动为静,构建方程模型. 运用了数形结合、方程思想.,合作交流,探索新知,变式1: 在四边形ABCD中,ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动,同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒问当t为何值时,以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?,分析: 这是一道双动点型的动点问题 (1)AP=_;PD=_. CQ=_;BQ=_. (用含t的代数式表示) (2)若四边形PQCD是平行四边形, 只需条件:_ 因此可列方程:_,t,12-t,PD=CQ,12-t=1.5t,1.5t,21-1.5t,合作交流,探索新知,变式1: 在四边形ABCD中,ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动,同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒问当t为何值时,以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?,解: 依题意得AP=t,CQ=1.5t. 则 PD=12-t. ADBC,即PDCQ 当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形 12-t=1.5t 解得t=4.8 当t=4.8秒时,四边形PQCD是平行四边形.,合作交流,探索新知,变式2: 在四边形ABCD中ADBC,ABAD,AD=12cm, DC=15cm,BC=21cm,AB=12cm, 点P从点A以1cm/s的速度向点D运动,同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动. 当其中一点停止运动时,另一点也停止运动,设运动时间为t秒 (1)填空:AP=_, BQ=_. (用含t的代数式表示); (2)若PBQ的面积为S,求出S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;,t,21-1.5t,解:BQ=21-1.5t,AB=12 S= BQ AB = (21-1.5t) 12,即S=-9t+126 (0t12),P,Q,合作交流,探索新知,变式2: (3)若点P从点A以1cm/s的速度沿ADCB方向运动,同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿CBAD方向运动.在P、Q运动过程中,问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.,探究动点关键:化动为静,分类讨论,关注全过程,P,Q,P,Q,图,合作交流,探索新知,解: (3)存在. tp=(12+15+21) 1=48(秒), tQ=(21+12+12) 1.5=30(秒) Q先到达.,合作交流,探索新知,1)若P在AD上,Q在BC上时,如图 依题意得PD=12-t,CQ=1.5t 当PD=CQ时,四边形PQCD是平行四边形 则 12-t=1.5t, 解得 t=4.8,2)若P在BC上,Q在AD上时,如图 依题意得QD=45-1.5t,PC=t-27 当QD=PC时,四边形QPCD是平行四边形 则 45-1.5t=t-27, 解得 t=28.8,综上所述,存在以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,其中t=4.8秒或t=28.8秒.,中考演练,如图,在四边形ABCD中,ABDC,ADBC5,DC7,AB13,点P从点A出发,以每秒3个单位的速度沿ADDC向终点C运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动.在运动期间,当四边形PQBC为平行四边形时,运动时间为( )秒. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6,A,分析: 建立方程模型求解 设运动时间为t秒, 则PC=_; BQ=_. 可列方程:_.,12-3t,t,12-3t=t,收获一:动中求静,化动为静,收获三:运用数学思想: 数形结合、方程、函数、分类讨论,收获二:构建方程模型,通过本节课的学习,同学们有哪些收获?,(动点型问题的解题策略),小结,作业: 详见导学案,
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