第4章 确定型时间序列预测方法,4.1 时间序列与时序分析4.2 移动平均法4.3 指数平滑法4.4 季节指数法4.5 时间序列分解法思考与练习 ,4.1 时间序列与时序分析,所谓时间序列,是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据,经常用X1, X2, , Xt, Xn表示。不论是经济领域中某一产品的年产量、月销售量、工厂的月库存量、某一商品在某一市场上的价格变动等,或是社会领域中某一地区的人口数、某医院每日就诊的患者人数、铁路客流量等,还是自然领域中某一地区的温度、月降雨量,等等,都形成了时间序列。所有这些序列的基本特点就是每一个序列包含了产生该序列的系统的历史行为的全部信息。,问题在于如何才能根据这些时间序列,比较精确地找出相应系统的内在统计特性和发展规律,尽可能多地从中提取我们所需要的准确信息。用来实现上述目的的整个方法称为时间序列分析,简称时序分析。时序分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法,是统计学科的一个分支。其基本思想是根据系统有限长度的运行记录（观察数据）,建立能够比较精确地反映时间序列中所包含的动态依存关系的数学模型,并借以对系统的未来行为进行预报。时序分析具有以下3个特点。,(1) 时序分析是根据预测目标过去至现在的变化趋势预测未来的发展,它的前提是假设预测目标的发展过程规律性会继续延续到未来,即以惯性原理为依据。 (2) 时间序列数据的变化存在着规律性与不规律性。时间序列中每一时期的数据,都是由许多不同的因素同时发生作用的综合结果。通常根据各种因素的特点或影响效果可将这些因素分为四类。, 长期趋势（T）。长期趋势是指由于某种关键因素的影响,时间序列在较长时间内连续不断地向一定的方向持续发展（上升或下降）,或相对停留在某一水平上的倾向,反映了事物的主要变化趋势,是事物本质在数量上的体现。它是分析预测目标时间序列的重点。 季节变动（S）。季节变动是指由于自然条件和社会条件的影响,时间序列在某一时期依一定周期规则性地变化。它一般归因于一年内的特殊季节、节假日,典型的如农产品的季节加工,化肥、空调、服装、某些食品的销售等。, 循环变动（C）。循环变动是指变动以数年为周期,而变动规律是波动式的变动。它与长期趋势不同,不是朝单一方向持续发展,而是涨落相间的波浪式起伏变动。它与季节变动也不同,它的波动时间较长,变动周期长短不一。市场经济条件下由于竞争,出现一个经济扩张时期紧接着是一个收缩时期,再接下来又是一个扩张时期等变化,通常在同一时间内影响到大多数经济部门,如对农产品的需求量,住宅建筑的需求量,汽车工业的发展,资本主义国家经济危机的变化周期等。这种循环往往是由高值到低值,再回到高值的波浪型模式。, 不规则变动（I）。不规则变动是指各种偶然性因素引起的变动。不规则变动又可分为突变和随机变动。所谓突变,是指诸如战争、自然灾害、意外事故、方针政策等的改变所引起的变动；随机变动是指由于各种随机因素所产生的影响。上述各类影响因素的共同作用,使时间序列数据发生变化,有的具有规律性,如长期趋势变动和季节性变动；有些就不具有规律性,如不规则变动以及循环变动（从较长的时期观察也有一定的规律性,但短时间的变动又是不规律的）。所谓时间序列分析法,就是要运用统计方法和数学方法,把时间序列数据分解为T、S、C、I四类因素或其中的一部分,据此预测时间序列的发展规律。,(3) 时间序列是一种简化。在采用时间序列预测方法时,假设预测对象的变化仅仅与时间有关,根据它的变化特征，以惯性原理推测其未来状态。事实上,预测对象与外部因素有着密切而复杂的联系。时间序列中的每一个数据都是许多因素综合作用的结果,整个时间序列则反映了外部因素综合作用下预测对象的变化过程。因此,预测对象仅与时间有关的假设,是对外部因素复杂作用的简化,这种简化使预测更为直接和简便。,4.2 移动平均法,4.2.1 一次移动平均法一次移动平均法是在算术平均法的基础上加以改进的。其基本思想是,每次取一定数量周期的数据平均,按时间顺序逐次推进。每推进一个周期时,舍去前一个周期的数据,增加一个新周期的数据,再进行平均。设Xt为t周期的实际值,一次移动平均值,其中N为计算移动平均值所选定的数据个数。第t+1期的预测值取为例4.1 某市汽车配件销售公司某年1月(份)12月(份)的化油器销售量的统计数据如表4.1中第二行所示,试用一次移动平均法,预测下一年1月(份)的销售量。 ,（4.1）,（4.2）,解 分别取N=3和N=5,按预测公式计算3个月和5个月移动平均预测值。见表4.1,预测图如图4.1所示。,表4.1 化油器销售量及移动平均预测值表(单位：只),由图4.1可以看出,实际销售量的随机波动较大,经过移动平均法计算后,随机波动显著减少,而且求取平均值所用的月数越多,即N越大,修匀的程度越强,波动也越小。但是在这种情况下,对实际销售量的变化趋势反应也越迟钝。反之,N取得越小,对销售量的变化趋势反应越灵敏,但修匀性越差,容易把随机干扰作为趋势反映出来。因此,N的选择甚为重要,N应该取多大,应根据具体情况做出选择。当N等于周期变动的周期时,则可消除周期变化的影响。,图4.1 化油器销售量及移动平均预测值,在实用中,一般用对过去数据预测的均方误差S来作为选取N的准则。当N=3时, 当N=5时,计算结果表明： N=5时,S较小,所以选取N=5。预测下年1月(份)的化油器销售量为452只。在使用一次移动平均法时,应注意如下两点： (1) 一次移动平均法一般只适应于平稳模式。当被预测的变量的基本模式发生变化时， 一次移动平均法的适应性比较差。 (2) 一次移动平均法一般只适用于下一时期的预测。典型例子之一是生产经理要根据某一品类中的几百种不同产品的需求预测来安排生产。在许多相同的情况下,所需要的是一种很容易使用到每一个项目上去并能提供良好预测值的方法,移动平均法就是这样一种方法。,4.2.2 二次移动平均法前面已讲过,当预测变量的基本趋势发生变化时,一次移动平均法不能迅速地适应这种变化。当时间序列的变化为线性趋势时,一次移动平均法的滞后偏差使预测值偏低,不能进行合理的趋势外推。例如,线性趋势方程为这里,a,b是常数。当t增加一个单位时间时,Xt的增量 Xt+1-Xt=a+b(t+1)-a-bt=b因此,当时间从t增加至t+1时, Xt+1的值为a+b(t+1),如采用一次移动平均法计算,其预测值是,由此有,从以上推导可以看出,每进行一次移动平均,得到的新序列就比原序列滞后b(N+1)/2。也就是说,二次移动平均值低于一次移动平均值的距离,等于一次移动平均数值低于实际值的距离。因此就有可能用如下方法进行预测： 将二次移动平均数与一次移动平均的距离加回到一次移动平均数上去以作为预测值。如此改动后进行预测的结论将更加准确。 时间序列 X1,X2,Xt的一次移动平均数为,序列X1,X2,Xt的二次移动平均数定义为 下面讨论如何利用移动平均的滞后偏差建立直线趋势预测模型。设时间序列Xt从某时期开始具有直线趋势,且认为未来时期也按此直线趋势变化,则可设此直线趋势预测模型为 ,(4.3),(4.4),其中,t为当前的时期数；T为由t至预测期的时期数,T=1,2,；at为截距,bt为斜率,两者又称为平滑系数。运用移动平均值来确定平滑系数,计算公式如下： ,(4.5),由此,我们将式（4.5）代入到式（4.4）中去,便可求出 ,从而进行预测。二次移动平均法不仅能处理预测变量的模式呈水平趋势时的情形,同时又可应用到长期趋势（线性增长趋势）甚至于季节变动模式上去。这是它相对于一次移动平均法的优点之所在。一次移动平均法的预测模型是直线方程（一次方程）,当实际值的变化趋势为二次或更高次多项式时,就要用三次或更高次的移动平均法,但此时可用其它更好的方法来做。这里就不再对更高次的移动平均法作讨论了。,4.3 指数平滑法,4.3.1 一次指数平滑法设X0, X1, Xn为时间序列观察值,S(1) 1, S (1) 2, , S(1)n为时间t的观察值的指数平滑值, 则一次指数平滑值为 S(1)t=Xt+(1-)Xt-1+(1-) 2Xt-2+ (4.6)式中, 为平滑系数,11。,观察上式,实际值Xt、Xt-1、Xt-2的权系数分别为、(1-)、(1-) 2。依次类推,离现在时刻越远的数据,其权系数越小。指数平滑法就是用平滑系数来实现不同时间的数据的非等权处理的。因为权系数是指数几何级数,指数平滑法也由此而得名。上式略加变换,得 ,(4.7),式(4.7)可改写为S(1)t=S (1) t-1+(Xt-S (1) t-1) (4.8)预测公式： (4.9)或下面我们来对移动平均值S (1) t和指数平滑值M (1) t作一比较。 ,(4.10),假定样本序列具有水平趋势,将Xt-N用M(1) t-1代替,则,(4.11),将1/N用替换,式（4.11）即为式（4.7）的形式。由式（4.7）, 有S (1) t=Xt+(1-)S (1) t-1S(1)t-1=Xt-1+(1-)S (1) t-2S (1) 1=X1+(1-)S (1) 0其中S (1) 0为指数平滑的初始值。逐项代入,得S(1)t=Xt+(1-)Xt-1+(1-)t-1X1+(1-)tS(1)0 (4.12)指数平滑法克服了移动平均法的缺点,它具有“厚今薄古”的特点。在算术平均中,所有数据的权重相等,均为1/N；一次移动平均中,最近N期数据的权重均为1/N,其它为0；而在指数平滑中,一次指数平滑值与所有的数据都有关,权重衰减,距离现在越远的数据权系数越小。,权重衰减的速度取决于的大小,越大,衰减越快; 越小,衰减越慢。从式（4.10）我们可以看到,指数平滑法解决了移动平均法所存在的一个问题,即不再需要存储过去N期的历史数据,而只需最近期观察值Xt、最近期预测值和权系数,用这三个数即可计算出一个新的预测值。在进行连续预测时,计算量大大减小。移动平均法中有N的选择问题,同样,在指数平滑法中也有参数的选择问题。式（4.10）可以给指数平滑法提供进一步的解释： ,在这个公式中,新预测值 仅仅是原预测值 加上权系数与前次预测值误差 的乘积。新预测值是在原预测值的基础上利用误差进行调整,这与控制论中利用误差反馈进行控制的原理有些类似。很明显,当趋近于1时,新预测值将包括一个较大的调整；相反,当趋近于0时,调整就很小。因此的大小对预测效果的影响与在移动平均法中使用的平均期数N对预测效果的影响相同。我们再来看式(4.12),不难发现的大小实际上控制了时间序列在预测计算中的有效位数。,如当0.3时,前10期观察值Xt-10的权系数(1-)100.008,亦即前10期的观察值对预测的影响已经很小,这时预测模型中所包含的时间序列的有效位数很短。当0.1时,前10期的加权系数为0.035,说明数Xt-10在预测中仍起着一定作用。因此, 当值较小时,预测模型中所包含的时间序列的有效位数就较大。 综合上述分析可知：较大表示较倚重近期数据所承载的信息,修正的幅度也较大，采用的数据序列也较短；较小表示修正的幅度也较小,采用的数据序列也较长。由此我们可以得到选择的以下一些准则： ,