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矩阵,1. 矩阵的定义,一些特殊的矩阵:,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵,2. 矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型,且对应元素相等,矩阵加(减)法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘:,乘法满足,矩阵乘法不满足: 交换律、消去律,A是n 阶方阵,,方阵的幂:,方阵的多项式:,方阵的行列式:基本计算方法,满足:,转置矩阵:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵,叫做 的转置矩阵,记作 .,满足:,对称矩阵和反对称矩阵:,3. 逆矩阵,定义:,唯一性: 若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论:,设A、B为同阶方阵,若,则A、B都可逆,且,可逆矩阵的性质,同阶可逆,证明:,逆矩阵求法:,(1)伴随矩阵法 (2)推论法 (3)初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4. 分块矩阵,5. 初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的 初等变换,矩阵的等价:,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。,初等矩阵: 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.,定理:,左乘变行,右乘变列,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆),矩阵方程,解,伴随矩阵:,1、定义(项数、乘积项、符号),2、结论:上(下)三角行列式的值=对角线上元素之积,3、性质,4、特殊关系式,n阶方阵的行列式,5、展开定理,解:,2 设A、B都是n阶方阵,并且AB=0,则,3 设 A、B 都是 n 阶方阵,则,e,解,4,解,5,注 当A与B可交换时,有下面二项展开式,称为纯量矩阵,它与任何方阵可交换。,设分块矩阵 ,其中A是m阶方阵,B是,n阶方阵,证明 。,设,备用题,证明,对 作ri+krj 类型的变换将其化为下三角行列式,设为,对 作ci+kcj 类型的变换将其化为下三角行列式,设为,于是,对 的前m行作与 相同类型的变换ri+krj ,再对后n列 作与 相同类型的变换ci+kcj ,化为下三角行列式,所以,类似地,若,其中A是m阶方阵,B是n阶方阵,,则,分别计算下面两个行列式,解,6,设 A为n方阵, 证明,证明:,(1)如果A=O, 则结论显然成立.,得A=O ,矛盾。,(2) 如果 , 由(1)结论成立。如果 ,如果AO,反证法,7,8,-29-,证明AB=0的充分必要条件,是B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解.,证,9,10,证明:,思考: AAT = O 如何?,-31-,设方阵B为幂等矩阵,,(即 ,从而对正整数k, ),证明:A是可逆矩阵,且,证明,11,-32-,12,设 A , B 和 A+B 均可逆 ,证明 也可逆,并求其逆.,证,
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